重庆大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
七．设参数 $\displaystyle \alpha>0$ ，讨论广义积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{e^{\sin x} \sin (2 x)}{x^{\alpha}} \mathrm{d} x$ 的收玫性（包括条件收敛和绝对收敛）．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：分析被积函数在x→0⁺时的渐近行为
当 $x \to 0^+$ 时，$\sin x \sim x$，故 $e^{\sin x} \to e^0 = 1$；$\sin(2x) \sim 2x$。因此被积函数 $\frac{e^{\sin x} \sin(2x)}{x^\alpha} \sim \frac{2}{x^{\alpha-1}}$。
公式：\frac{e^{\sin x} \sin(2x)}{x^\alpha} \sim \frac{2}{x^{\alpha-1}}, \quad x \to 0^+
提示：注意 $\alpha-1$ 的指数，比较 $\int_0^1 \frac{dx}{x^p}$ 的收敛性：$p<1$ 时收敛。
步骤 2/7
目标：确定积分在0附近的收敛条件
由比较判别法，$\int_0^1 \frac{2}{x^{\alpha-1}} dx$ 收敛当且仅当 $\alpha-1 < 1$，即 $\alpha < 2$。若 $\alpha \ge 2$，则积分在0附近发散。
公式：\alpha < 2 \quad \text{时，0附近积分收敛}
提示：不要忽略 $\alpha=2$ 时 $\int_0^1 \frac{dx}{x}$ 发散。
步骤 3/7
目标：分析无穷远处的绝对收敛性
当 $x \to +\infty$，$|e^{\sin x} \sin(2x)| \le e$，故 $\left| \frac{e^{\sin x} \sin(2x)}{x^\alpha} \right| \le \frac{e}{x^\alpha}$。由比较判别法，$\int_1^\infty \frac{e}{x^\alpha} dx$ 收敛当且仅当 $\alpha > 1$。因此 $\alpha > 1$ 时无穷远处绝对收敛。
公式：\left| \frac{e^{\sin x} \sin(2x)}{x^\alpha} \right| \le \frac{e}{x^\alpha}
提示：绝对收敛要求 $\alpha>1$，但还需结合0附近条件。
步骤 4/7
目标：确定绝对收敛的范围
综合0附近条件 $\alpha<2$ 和无穷远处条件 $\alpha>1$，得绝对收敛区间为 $1 < \alpha < 2$。
公式：1 < \alpha < 2 \quad \text{时绝对收敛}
提示：边界 $\alpha=1$ 和 $\alpha=2$ 不包含在绝对收敛内。
步骤 5/7
目标：讨论无穷远处的条件收敛性
考虑 $\int_1^\infty \frac{e^{\sin x} \sin(2x)}{x^\alpha} dx$。令 $f(x)=e^{\sin x}\sin(2x)$，其原函数 $F(x)=\int_0^x f(t)dt$ 有界（因为 $f$ 是周期函数且均值为0）。由Dirichlet判别法，当 $\alpha>0$ 时，$1/x^\alpha$ 单调趋于0，故该积分对任意 $\alpha>0$ 收敛。
公式：\int_1^\infty \frac{e^{\sin x} \sin(2x)}{x^\alpha} dx \quad \text{收敛于 } \alpha>0
提示：需验证 $F(x)$ 有界：利用 $\int_0^{2\pi} e^{\sin t}\sin(2t)dt=0$ 及周期性。
步骤 6/7
目标：综合条件收敛的范围
积分整体收敛需0附近收敛（$\alpha<2$），且无穷远处已对任意 $\alpha>0$ 收敛。故 $0<\alpha<2$ 时积分收敛。当 $0<\alpha \le 1$ 时，绝对值积分发散（因 $\alpha \le 1$ 时 $\int_1^\infty \frac{dx}{x^\alpha}$ 发散且被积函数振幅有正下界），因此为条件收敛。
公式：0 < \alpha \le 1 \quad \text{时条件收敛}
提示：条件收敛要求积分收敛但绝对值发散，注意 $\alpha=1$ 时 $\int_1^\infty \frac{dx}{x}$ 发散。
步骤 7/7
目标：总结所有情况
综上：
- 当 $\alpha \ge 2$ 时，积分发散；
- 当 $1 < \alpha < 2$ 时，积分绝对收敛；
- 当 $0 < \alpha \le 1$ 时，积分条件收敛。
公式：\text{发散: } \alpha \ge 2; \quad \text{绝对收敛: } 1<\alpha<2; \quad \text{条件收敛: } 0<\alpha\le 1
提示：注意 $\alpha>0$ 是题设条件，无需考虑 $\alpha \le 0$。
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