重庆大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
四．计算第二类曲线积分
$$
\int_{L}\left(y^{2}-z^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(2 z^{2}-x^{2}\right) \mathrm{d} y+\left(3 x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} z
$$
其中 $L$ 是平面 $\displaystyle x+y+z=2$ 与柱面 $\displaystyle |x|+|y|=1$ 的交线，从 $z$ 轴正方向往下看去，$L$ 是顺时针方向．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：确定曲线与方向
曲线由平面 \(x+y+z=2\) 与柱面 \(|x|+|y|=1\) 的交线给出。从 \(z\) 轴正方向往下看，\(L\) 是顺时针方向，这对应于曲线定向与曲面法向量满足左手定则，即实际应取曲面的下侧法向量。
提示：注意方向与法向量的关系：顺时针对应法向量指向下方。
步骤 2/6
目标：应用斯托克斯公式
设 \(\mathbf{F}=(P,Q,R)\)，其中 \(P=y^2-z^2,\; Q=2z^2-x^2,\; R=3x^2-y^2\)。由斯托克斯公式：
\[
\oint_L P\,dx+Q\,dy+R\,dz = \iint_S (\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS,
\]
其中 \(S\) 为平面 \(x+y+z=2\) 上以 \(L\) 为边界的部分。
公式：斯托克斯公式
提示：选择曲面为平面的一部分，简化计算。
步骤 3/6
目标：计算旋度
计算旋度 \(\nabla\times\mathbf{F}\)：
\[
\frac{\partial R}{\partial y} = -2y,\quad \frac{\partial Q}{\partial z}=4z \Rightarrow \text{第一分量：}-2y-4z;
\]
\[
\frac{\partial P}{\partial z} = -2z,\quad \frac{\partial R}{\partial x}=6x \Rightarrow \text{第二分量：}-2z-6x;
\]
\[
\frac{\partial Q}{\partial x} = -2x,\quad \frac{\partial P}{\partial y}=2y \Rightarrow \text{第三分量：}-2x-2y.
\]
因此 \(\nabla\times\mathbf{F}=(-2y-4z,\; -2z-6x,\; -2x-2y)\).
公式：旋度公式
提示：注意偏导数的计算顺序，避免符号错误。
步骤 4/6
目标：确定曲面法向量并转换积分
平面法向量为 \((1,1,1)\)，但根据曲线方向（顺时针），应取下侧法向量 \(\mathbf{n}=(-1,-1,-1)\)。平面投影到 \(xy\) 平面，面积元 \(dS=\sqrt{3}\,dx\,dy\)，单位法向量为 \((-1,-1,-1)/\sqrt{3}\)，因此
\[
(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS = (\nabla\times\mathbf{F})\cdot(-1,-1,-1)\,dx\,dy.
\]
计算点积：
\[
(-2y-4z)(-1)+(-2z-6x)(-1)+(-2x-2y)(-1)=2y+4z+2z+6x+2x+2y=8x+4y+6z.
\]
代入 \(z=2-x-y\) 得：
\[
8x+4y+6(2-x-y)=8x+4y+12-6x-6y=2x-2y+12.
\]
曲面积分化为 \(\iint_D (2x-2y+12)\,dx\,dy\)，其中 \(D\) 为 \(|x|+|y|\le 1\).
公式：点积与投影转换
提示：法向量方向决定符号，务必与曲线定向一致。
步骤 5/6
目标：计算二重积分
区域 \(D\) 关于 \(x\) 和 \(y\) 对称，\(2x\) 和 \(-2y\) 均为奇函数，积分结果为 \(0\)。常数 \(12\) 的积分等于 \(12\) 乘以区域面积。菱形 \(|x|+|y|\le 1\) 的面积为 \(2\)（四个直角边为 \(1\) 的等腰直角三角形，总面积 \(4\times\frac12=2\)）。因此积分值为 \(12\times2=24\).
公式：对称性与面积公式
提示：利用奇偶性简化计算，注意菱形面积公式。
步骤 6/6
目标：得出最终结果
根据斯托克斯公式和方向选择，原曲线积分等于 \(24\).
提示：检查方向是否已正确处理，避免符号错误。
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