重庆大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
一、 $\displaystyle \left(20\right.$ 分）计算函数极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x \cdot\left[\frac{1}{e}-\left(\frac{x}{1+x}\right)^{x}\right]$ ．
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：化简幂指函数，将其转化为指数形式
考虑表达式 \(\left( \frac{x}{1+x} \right)^x\)，由于 \(\frac{x}{1+x} = 1 - \frac{1}{1+x}\)，所以原式可写为 \(\left(1 - \frac{1}{1+x}\right)^x\)。取自然对数得：
\[\ln\left( \left( \frac{x}{1+x} \right)^x \right) = x \ln\left(1 - \frac{1}{1+x}\right)\]
公式：\left( \frac{x}{1+x} \right)^x = \exp\left[ x \ln\left(1 - \frac{1}{1+x}\right) \right]
提示：注意幂指函数通常取对数处理，这是处理此类极限的标准技巧。
步骤 2/6
目标：对对数部分进行泰勒展开
当 \(x \to +\infty\) 时，\(\frac{1}{1+x} \to 0\)，令 \(t = \frac{1}{1+x}\)，利用 \(\ln(1-t) = -t - \frac{t^2}{2} - \frac{t^3}{3} - \cdots\)，代入得：
\[x \ln\left(1 - \frac{1}{1+x}\right) = x\left( -\frac{1}{1+x} - \frac{1}{2(1+x)^2} - \frac{1}{3(1+x)^3} - \cdots \right)\]
公式：\ln(1-t) = -t - \frac{t^2}{2} - \frac{t^3}{3} - O(t^4)
提示：展开时注意保留足够阶数，这里需要到 \(O(1/x^2)\) 才能得到正确结果。
步骤 3/6
目标：计算展开式的各项并合并
分别计算前两项：
第一项：\(x \cdot \left(-\frac{1}{1+x}\right) = -\frac{x}{1+x} = -1 + \frac{1}{1+x}\)
第二项：\(x \cdot \left(-\frac{1}{2(1+x)^2}\right) = -\frac{x}{2(1+x)^2} = -\frac{1}{2(1+x)} \cdot \frac{x}{1+x}\)，当 \(x\) 很大时，\(\frac{x}{1+x} \to 1\)，故该项近似为 \(-\frac{1}{2(1+x)}\)，属于 \(O(1/x)\) 量级。
更高阶项为 \(O(1/x^2)\)。合并一次项：
\[\frac{1}{1+x} - \frac{1}{2(1+x)} = \frac{1}{2(1+x)}\]
因此：
\[x \ln\left( \frac{x}{1+x} \right) = -1 + \frac{1}{2(1+x)} + O\left(\frac{1}{x^2}\right)\]
公式：x \ln\left( \frac{x}{1+x} \right) = -1 + \frac{1}{2(1+x)} + O\left(\frac{1}{x^2}\right)
提示：注意 \(-\frac{x}{1+x}\) 展开为 \(-1 + \frac{1}{1+x}\) 是精确等式，不要忽略常数项。
步骤 4/6
目标：还原指数形式并展开
将上一步结果代入指数：
\[\left( \frac{x}{1+x} \right)^x = \exp\left( -1 + \frac{1}{2(1+x)} + O\left(\frac{1}{x^2}\right) \right) = e^{-1} \cdot \exp\left( \frac{1}{2(1+x)} + O\left(\frac{1}{x^2}\right) \right)\]
利用 \(e^u = 1 + u + \frac{u^2}{2} + \cdots\) 展开，得：
\[= \frac{1}{e} \left[ 1 + \frac{1}{2(1+x)} + O\left(\frac{1}{x^2}\right) \right]\]
公式：\left( \frac{x}{1+x} \right)^x = \frac{1}{e} \left(1 + \frac{1}{2(1+x)} + O\left(\frac{1}{x^2}\right)\right)
提示：指数展开时，注意 \(O(1/x^2)\) 项在后续乘以 \(x\) 后会变为 \(O(1/x)\)，不影响极限。
步骤 5/6
目标：代入原极限表达式并化简
原极限为：
\[x\left[ \frac{1}{e} - \left( \frac{x}{1+x} \right)^x \right] = x\left[ \frac{1}{e} - \frac{1}{e}\left(1 + \frac{1}{2(1+x)} + O\left(\frac{1}{x^2}\right)\right) \right]\]
\[= x \cdot \frac{1}{e} \left[ -\frac{1}{2(1+x)} + O\left(\frac{1}{x^2}\right) \right] = -\frac{x}{2e(1+x)} + O\left(\frac{1}{x}\right)\]
公式：x\left[ \frac{1}{e} - \left( \frac{x}{1+x} \right)^x \right] = -\frac{x}{2e(1+x)} + O\left(\frac{1}{x}\right)
提示：注意 \(x \cdot O(1/x^2) = O(1/x)\)，在取极限时趋于0。
步骤 6/6
目标：取极限得到最终结果
当 \(x \to +\infty\) 时，\(\frac{x}{1+x} \to 1\)，因此：
\[\lim_{x \to +\infty} \left( -\frac{x}{2e(1+x)} \right) = -\frac{1}{2e} \cdot \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{1+x} = -\frac{1}{2e}\]
而 \(O\left(\frac{1}{x}\right)\) 项趋于0。故极限值为 \(-\frac{1}{2e}\)。
公式：\lim_{x \to +\infty} x \cdot \left[\frac{1}{e} - \left(\frac{x}{1+x}\right)^x\right] = -\frac{1}{2e}
提示：最后一步不要忘记处理余项，确保其极限为0。
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