📝 重庆大学 2025年数学分析真题
第0题
一、 $\displaystyle \left(20\right.$ 分）计算函数极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x \cdot\left[\frac{1}{e}-\left(\frac{x}{1+x}\right)^{x}\right]$ ．
第0题
七、（25分）解答如下问题．
（1）证明：含参变量 $y$ 的广义积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} e^{-x y} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致收敛。
（2）证明：在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上，含参变量 $y$ 的广义积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} e^{-x y} \sin x \mathrm{~d} x$不一致收敛，但是内闭一致收敛．
（3）利用（1）、（2）中的结论计算 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x$ ．
（4）利用（3）中的结论证明：
$$
\int_{0}^{+\infty}\left[\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x \cdot \sin (x+y)}{x(x+y)} \mathrm{d} y\right] \mathrm{d} x=\frac{\pi^{2}}{8}
$$
（1）证明：含参变量 $y$ 的广义积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} e^{-x y} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致收敛。
（2）证明：在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上，含参变量 $y$ 的广义积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} e^{-x y} \sin x \mathrm{~d} x$不一致收敛，但是内闭一致收敛．
（3）利用（1）、（2）中的结论计算 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x$ ．
（4）利用（3）中的结论证明：
$$
\int_{0}^{+\infty}\left[\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x \cdot \sin (x+y)}{x(x+y)} \mathrm{d} y\right] \mathrm{d} x=\frac{\pi^{2}}{8}
$$
第0题
三、（20 分）解答如下问题．
（1）已知数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty}$ 满足：
$$
\left|x_{n+1}-x_{n}\right|<r\left|x_{n}-x_{n-1}\right|, n=2,3,4, \cdots \text {, 其中 } r \in(0,1) \text {. }
$$
证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty}$ 收玫。
（2）如果将（1）中的常数 $r$ 换成 1 ，是否仍然有数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty}$ 收敛？证明你的结论．
（1）已知数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty}$ 满足：
$$
\left|x_{n+1}-x_{n}\right|<r\left|x_{n}-x_{n-1}\right|, n=2,3,4, \cdots \text {, 其中 } r \in(0,1) \text {. }
$$
证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty}$ 收玫。
（2）如果将（1）中的常数 $r$ 换成 1 ，是否仍然有数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty}$ 收敛？证明你的结论．
第0题
二、（20分）设 $\displaystyle \mathbf{S}$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 中的光滑封闭曲面，取外侧，考虑第二类曲面积分
$$
I=\oiint_{S}\left\{\begin{array}{l}
\left(x^{3}+y^{2025}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(2 y^{3}+y+z^{2024}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x \\
+\left(3 z^{3}-4 z-1929 x\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
\end{array}\right\} .
$$
（1）试确定曲面 $\displaystyle \mathbf{S}$ 的方程，使得积分 $\displaystyle \mathbf{I}$ 的值最小，并求出这个最小值．
（2）将第（1）中得到的曲面 $S$ 在第一卦限的部分记作 $\displaystyle S_{1}$ ，求 $\displaystyle S_{1}$ 的切平面，使得该切平面与三个坐标平面围成的几何体的体积最小．
$$
I=\oiint_{S}\left\{\begin{array}{l}
\left(x^{3}+y^{2025}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(2 y^{3}+y+z^{2024}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x \\
+\left(3 z^{3}-4 z-1929 x\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
\end{array}\right\} .
$$
（1）试确定曲面 $\displaystyle \mathbf{S}$ 的方程，使得积分 $\displaystyle \mathbf{I}$ 的值最小，并求出这个最小值．
（2）将第（1）中得到的曲面 $S$ 在第一卦限的部分记作 $\displaystyle S_{1}$ ，求 $\displaystyle S_{1}$ 的切平面，使得该切平面与三个坐标平面围成的几何体的体积最小．
第0题
五、（15 分）判断下列命题的正误，正确的需给出证明，错误的需要举出反例．
（1）若级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x_{n}$ 收玫，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x_{n}}{n}$ 也收玫．
（2）若连续函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}_{n=1}^{+\infty}$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上逐点收敛于连续函数 $\displaystyle f(x)$ ，则函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}_{n=1}^{+\infty}$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ．
（3）若函数 $\displaystyle f(x), g(x)$ 都在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续，且 $\displaystyle g(x)$ 以 $x$ 轴为水平渐近线，则函数 $\displaystyle f(x) g(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续．
（1）若级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x_{n}$ 收玫，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x_{n}}{n}$ 也收玫．
（2）若连续函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}_{n=1}^{+\infty}$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上逐点收敛于连续函数 $\displaystyle f(x)$ ，则函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}_{n=1}^{+\infty}$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ．
（3）若函数 $\displaystyle f(x), g(x)$ 都在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续，且 $\displaystyle g(x)$ 以 $x$ 轴为水平渐近线，则函数 $\displaystyle f(x) g(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续．
第0题
八、（20 分）设 $\displaystyle f(x)$ 为闭区间 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 上的实值黎曼可积函数，给定区间 $\displaystyle I \subset[-\pi, \pi], I$ 上的特征函数定义为：$\displaystyle \chi_{I}(x)=\left\{\begin{array}{l}1, x \in I \\ 0, x \notin I\end{array}\right.$ ．如果 $\displaystyle I_{1}, I_{2}, \cdots, I_{N}$ 为闭区间 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 中两两不交的子空间，$\displaystyle a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{N}$ 均为常数，且 $\displaystyle \bigcup_{k=1}^{N} I_{k}=[-\pi, \pi]$ ，那么我们称有限线性组合
$$
a_{1} \chi_{I_{1}}+a_{2} \chi_{I_{2}}+\cdots+a_{N} \chi_{I_{N}}
$$
为闭区间 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 上的阶梯函数．
（1）证明：对 $\displaystyle \forall \varepsilon>0$ ，存在 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 上的阶梯函数 $\displaystyle \varphi(x)$ 和 $\displaystyle \psi(x)$ ，使得
$$
\varphi(x) \leq f(x) \leq \psi(x), x \in[-\pi, \pi] .
$$
并且 $\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}|\varphi(x)-f(x)| \mathrm{d} x<\varepsilon, \int_{-\pi}^{\pi}|\psi(x)-f(x)| \mathrm{d} x<\varepsilon$.
（2）利用（1）中的结论证明：
$$
\lim _{p \rightarrow+\infty} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin (p x) \mathrm{d} x=\lim _{p \rightarrow+\infty} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos (p x) \mathrm{d} x=0
$$
（3）将 $\displaystyle f(x)$ 延拓为 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上以 $\displaystyle 2 \pi$ 为周期的周期函数，延拓之后的函数仍记为 $\displaystyle f(x)$ ，证明：$\displaystyle f(x)$ 的傅里叶级数的部分和 $\displaystyle S_{n}(x)$ 可以写成
$$
S_{n}(x)=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x+t) \frac{\sin \left(\frac{2 n+1}{2} t\right)}{2 \sin \frac{t}{2}} \mathrm{~d} t, n=1,2, \cdots
$$
（4）在第（3）小题的条件下，再假设 $\displaystyle x_{0} \in(-\pi, \pi)$ 是 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-\pi, \pi]$上的唯一间断点，且存在极限 $\displaystyle A=\lim _{x \rightarrow x_{0}^{+}} f(x), B=\lim _{x \rightarrow x_{0}^{-}} f(x)$ ，
$$
\lim _{x \rightarrow x_{0}^{+}} \frac{f(x)-A}{x-x_{0}}, \lim _{x \rightarrow x_{0}^{-}} \frac{f(x)-B}{x-x_{0}}
$$
证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} S_{n}\left(x_{0}\right)=\frac{A+B}{2}$ ．
$$
a_{1} \chi_{I_{1}}+a_{2} \chi_{I_{2}}+\cdots+a_{N} \chi_{I_{N}}
$$
为闭区间 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 上的阶梯函数．
（1）证明：对 $\displaystyle \forall \varepsilon>0$ ，存在 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 上的阶梯函数 $\displaystyle \varphi(x)$ 和 $\displaystyle \psi(x)$ ，使得
$$
\varphi(x) \leq f(x) \leq \psi(x), x \in[-\pi, \pi] .
$$
并且 $\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}|\varphi(x)-f(x)| \mathrm{d} x<\varepsilon, \int_{-\pi}^{\pi}|\psi(x)-f(x)| \mathrm{d} x<\varepsilon$.
（2）利用（1）中的结论证明：
$$
\lim _{p \rightarrow+\infty} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin (p x) \mathrm{d} x=\lim _{p \rightarrow+\infty} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos (p x) \mathrm{d} x=0
$$
（3）将 $\displaystyle f(x)$ 延拓为 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上以 $\displaystyle 2 \pi$ 为周期的周期函数，延拓之后的函数仍记为 $\displaystyle f(x)$ ，证明：$\displaystyle f(x)$ 的傅里叶级数的部分和 $\displaystyle S_{n}(x)$ 可以写成
$$
S_{n}(x)=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x+t) \frac{\sin \left(\frac{2 n+1}{2} t\right)}{2 \sin \frac{t}{2}} \mathrm{~d} t, n=1,2, \cdots
$$
（4）在第（3）小题的条件下，再假设 $\displaystyle x_{0} \in(-\pi, \pi)$ 是 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-\pi, \pi]$上的唯一间断点，且存在极限 $\displaystyle A=\lim _{x \rightarrow x_{0}^{+}} f(x), B=\lim _{x \rightarrow x_{0}^{-}} f(x)$ ，
$$
\lim _{x \rightarrow x_{0}^{+}} \frac{f(x)-A}{x-x_{0}}, \lim _{x \rightarrow x_{0}^{-}} \frac{f(x)-B}{x-x_{0}}
$$
证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} S_{n}\left(x_{0}\right)=\frac{A+B}{2}$ ．
第0题
六、（20分）设 $\displaystyle \mathbf{D}$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}^{2}$ 中由光滑简单封闭曲线 $\displaystyle \mathbf{C}$ 所围成的闭区域，二元函数
$f$ 和 $g$ 在 $D$ 上具有连续的二阶偏导数，记作：$\displaystyle \Delta f=\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}$ ．
（1）证明：
$$
\iint_{D}(g \Delta f) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\int_{C} g \xrightarrow[\partial \vec{n}]{\partial f} \mathrm{~d} s-\iint_{D}[\operatorname{grad}(f) \cdot \operatorname{grad}(g)] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
$$
其中 $\displaystyle \vec{n}$ 为曲线 $C$ 的外法单位向量，$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial \vec{n}}$ 表示 $f$ 沿 $\displaystyle \vec{n}$ 方向的方向导数，向量
$$
\operatorname{grad}(f)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right), \operatorname{grad}(g)=\left(\frac{\partial g}{\partial x}, \frac{\partial g}{\partial y}\right)
$$
（2）证明：若 $f$ 在曲线 $C$ 上满足 $\displaystyle f \equiv 0$ ，则
$$
\iint_{D}\left(|f|^{2}+|\Delta f|^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \geq 2 \iint_{D}|\operatorname{grad}(f)|^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y .
$$
$f$ 和 $g$ 在 $D$ 上具有连续的二阶偏导数，记作：$\displaystyle \Delta f=\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}$ ．
（1）证明：
$$
\iint_{D}(g \Delta f) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\int_{C} g \xrightarrow[\partial \vec{n}]{\partial f} \mathrm{~d} s-\iint_{D}[\operatorname{grad}(f) \cdot \operatorname{grad}(g)] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
$$
其中 $\displaystyle \vec{n}$ 为曲线 $C$ 的外法单位向量，$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial \vec{n}}$ 表示 $f$ 沿 $\displaystyle \vec{n}$ 方向的方向导数，向量
$$
\operatorname{grad}(f)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right), \operatorname{grad}(g)=\left(\frac{\partial g}{\partial x}, \frac{\partial g}{\partial y}\right)
$$
（2）证明：若 $f$ 在曲线 $C$ 上满足 $\displaystyle f \equiv 0$ ，则
$$
\iint_{D}\left(|f|^{2}+|\Delta f|^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \geq 2 \iint_{D}|\operatorname{grad}(f)|^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y .
$$
第0题
四、（10 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上具有连续的一阶导函数，证明：
（1）对 $\displaystyle \forall x \in[0,1]$ ，有 $\displaystyle |f(x)| \leq \int_{0}^{1}|f(t)| \mathrm{d} t+\int_{0}^{1}\left|f^{\prime}(t)\right| \mathrm{d} t$ ．
（2）$\displaystyle \left|f\left(\frac{1}{2}\right)\right| \leq \int_{0}^{1}|f(t)| \mathrm{d} t+\frac{1}{2} \int_{0}^{1}\left|f^{\prime}(t)\right| \mathrm{d} t$ ．
（1）对 $\displaystyle \forall x \in[0,1]$ ，有 $\displaystyle |f(x)| \leq \int_{0}^{1}|f(t)| \mathrm{d} t+\int_{0}^{1}\left|f^{\prime}(t)\right| \mathrm{d} t$ ．
（2）$\displaystyle \left|f\left(\frac{1}{2}\right)\right| \leq \int_{0}^{1}|f(t)| \mathrm{d} t+\frac{1}{2} \int_{0}^{1}\left|f^{\prime}(t)\right| \mathrm{d} t$ ．