重庆大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
三、（20 分）解答如下问题．
（1）已知数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty}$ 满足：
$$
\left|x_{n+1}-x_{n}\right|<r\left|x_{n}-x_{n-1}\right|, n=2,3,4, \cdots \text {, 其中 } r \in(0,1) \text {. }
$$
证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty}$ 收玫。
（2）如果将（1）中的常数 $r$ 换成 1 ，是否仍然有数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty}$ 收敛？证明你的结论．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：建立相邻项差的控制
由条件 $|x_{n+1} - x_n| < r |x_n - x_{n-1}|$ 反复递推，得到 $|x_{n+1} - x_n| < r^{n-1} |x_2 - x_1|$。记 $d = |x_2 - x_1|$，则 $|x_{n+1} - x_n| < d r^{n-1}$。
公式：|x_{n+1} - x_n| < d r^{n-1}
提示：注意递推时每次乘以 r，指数为 n-1，不要漏掉初始项。
步骤 2/5
目标：用 Cauchy 收敛准则估计任意两项差
对任意 $m > n$，有 $|x_m - x_n| \le \sum_{k=n}^{m-1} |x_{k+1} - x_k| < d \sum_{k=n}^{m-1} r^{k-1}$。计算几何级数部分和：$\sum_{k=n}^{m-1} r^{k-1} = r^{n-1} \frac{1 - r^{m-n}}{1 - r} < \frac{r^{n-1}}{1-r}$。因此 $|x_m - x_n| < d \frac{r^{n-1}}{1-r}$。
公式：|x_m - x_n| < d \frac{r^{n-1}}{1-r}
提示：几何级数求和时注意首项和公比，放缩时去掉分子中的 $r^{m-n}$ 项以简化。
步骤 3/5
目标：证明数列是 Cauchy 列从而收敛
由于 $r \in (0,1)$，当 $n \to \infty$ 时 $r^{n-1} \to 0$。对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N$ 使得当 $n > N$ 时有 $d \frac{r^{n-1}}{1-r} < \varepsilon$，从而对所有 $m > n > N$ 有 $|x_m - x_n| < \varepsilon$。故数列是 Cauchy 列，在实数范围内收敛。
公式：\lim_{n\to\infty} r^{n-1} = 0
提示：Cauchy 收敛准则的运用：只要任意两项差可以任意小，数列就收敛。
步骤 4/5
目标：分析将 r 换成 1 后的情况
条件变为 $|x_{n+1} - x_n| < |x_n - x_{n-1}|$，即相邻项差的绝对值严格递减，但递减速度可能很慢，不足以保证收敛。
公式：|x_{n+1} - x_n| < |x_n - x_{n-1}|
提示：递减性不能直接推出趋于零，更无法保证级数收敛。
步骤 5/5
目标：构造反例说明不收敛
取 $x_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$，则 $|x_{n+1} - x_n| = \frac{1}{n+1} < \frac{1}{n} = |x_n - x_{n-1}|$，满足条件。但调和级数发散，故 $\{x_n\}$ 发散到无穷，不收敛。
公式：x_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}
提示：调和级数是常见的发散级数，其部分和差满足严格递减但整体发散。
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