重庆大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
四、（10 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上具有连续的一阶导函数，证明：
（1）对 $\displaystyle \forall x \in[0,1]$ ，有 $\displaystyle |f(x)| \leq \int_{0}^{1}|f(t)| \mathrm{d} t+\int_{0}^{1}\left|f^{\prime}(t)\right| \mathrm{d} t$ ．
（2）$\displaystyle \left|f\left(\frac{1}{2}\right)\right| \leq \int_{0}^{1}|f(t)| \mathrm{d} t+\frac{1}{2} \int_{0}^{1}\left|f^{\prime}(t)\right| \mathrm{d} t$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明（1）：对任意 x∈[0,1] 建立不等式
由微积分基本定理，对任意 x,t∈[0,1] 有 f(x)=f(t)+∫_t^x f'(s) ds。两边取绝对值并利用三角不等式得 |f(x)| ≤ |f(t)| + |∫_t^x f'(s) ds|。由于积分路径长度不超过1，且被积函数非负，有 |∫_t^x f'(s) ds| ≤ ∫_0^1 |f'(s)| ds。因此 |f(x)| ≤ |f(t)| + ∫_0^1 |f'(s)| ds。
公式：f(x)=f(t)+\int_t^x f'(s)\,ds
提示：注意三角不等式放缩时，积分上限可能小于下限，但绝对值积分可统一为从0到1的积分。
步骤 2/5
目标：证明（1）：对 t 积分得到最终不等式
将上一步不等式两边对 t 在 [0,1] 上积分：∫_0^1 |f(x)| dt ≤ ∫_0^1 |f(t)| dt + ∫_0^1 (∫_0^1 |f'(s)| ds) dt。左边 |f(x)| 与 t 无关，故左边 = |f(x)|。右边第二项中 ∫_0^1 |f'(s)| ds 是常数，对 t 积分后不变。于是 |f(x)| ≤ ∫_0^1 |f(t)| dt + ∫_0^1 |f'(s)| ds，即证。
公式：|f(x)| \leq \int_0^1 |f(t)|\,dt + \int_0^1 |f'(t)|\,dt
提示：积分时注意常数因子与积分区间的长度相乘。
步骤 3/5
目标：证明（2）：取 x=1/2 并建立类似不等式
取 x=1/2，由微积分基本定理有 f(1/2)=f(t)+∫_t^{1/2} f'(s) ds。取绝对值得 |f(1/2)| ≤ |f(t)| + |∫_t^{1/2} f'(s) ds|。对 t 从0到1积分得 |f(1/2)| ≤ ∫_0^1 |f(t)| dt + ∫_0^1 |∫_t^{1/2} f'(s) ds| dt。
公式：f\left(\frac12\right)=f(t)+\int_t^{1/2} f'(s)\,ds
提示：注意积分路径长度依赖于 t 与 1/2 的位置。
步骤 4/5
目标：证明（2）：处理第二项积分，交换积分次序
考虑第二项 I = ∫_0^1 |∫_t^{1/2} f'(s) ds| dt。由于被积函数非负，可先取绝对值再交换次序：I = ∫_0^1 (∫_{\min(t,1/2)}^{\max(t,1/2)} |f'(s)| ds) dt。交换积分次序得 I = ∫_0^1 |f'(s)| · |s-1/2| ds。因为 |s-1/2| ≤ 1/2 对 s∈[0,1] 成立，所以 I ≤ (1/2) ∫_0^1 |f'(s)| ds。
公式：\int_0^1 \left|\int_t^{1/2} f'(s)\,ds\right| dt = \int_0^1 |f'(s)|\cdot|s-1/2|\,ds
提示：交换积分次序时需注意积分区域：对每个 s，t 的取值范围是介于 s 与 1/2 之间，长度为 |s-1/2|。
步骤 5/5
目标：证明（2）：合并得到最终不等式
将 I 的估计代入，得 |f(1/2)| ≤ ∫_0^1 |f(t)| dt + (1/2) ∫_0^1 |f'(s)| ds。即证。
公式：\left|f\left(\frac12\right)\right| \leq \int_0^1 |f(t)|\,dt + \frac12 \int_0^1 |f'(t)|\,dt
提示：注意此处系数1/2来源于 |s-1/2| 的最大值，是比（1）中更紧的估计。
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