重庆大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
二、（20分）设 $\displaystyle \mathbf{S}$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 中的光滑封闭曲面，取外侧，考虑第二类曲面积分
$$
I=\oiint_{S}\left\{\begin{array}{l}
\left(x^{3}+y^{2025}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(2 y^{3}+y+z^{2024}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x \\
+\left(3 z^{3}-4 z-1929 x\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
\end{array}\right\} .
$$
（1）试确定曲面 $\displaystyle \mathbf{S}$ 的方程，使得积分 $\displaystyle \mathbf{I}$ 的值最小，并求出这个最小值．
（2）将第（1）中得到的曲面 $S$ 在第一卦限的部分记作 $\displaystyle S_{1}$ ，求 $\displaystyle S_{1}$ 的切平面，使得该切平面与三个坐标平面围成的几何体的体积最小．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：应用高斯散度定理，将曲面积分转化为三重积分
设 $P = x^3 + y^{2025}$, $Q = 2y^3 + y + z^{2024}$, $R = 3z^3 - 4z - 1929x$，则第二类曲面积分 $I = \oiint_S P dy dz + Q dz dx + R dx dy$。由高斯散度定理，对于封闭曲面外侧，有 $I = \iiint_V \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) dV$。
公式：I = \iiint_V \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) dV
提示：注意曲面取外侧，高斯公式的符号为正。
步骤 2/8
目标：计算散度并化简被积函数
计算偏导数：$\frac{\partial P}{\partial x} = 3x^2$, $\frac{\partial Q}{\partial y} = 6y^2 + 1$, $\frac{\partial R}{\partial z} = 9z^2 - 4$。因此散度为 $\nabla \cdot \mathbf{F} = 3x^2 + 6y^2 + 9z^2 + 1 - 4 = 3x^2 + 6y^2 + 9z^2 - 3$。积分化为 $I = \iiint_V (3x^2 + 6y^2 + 9z^2 - 3) dV$。
公式：\nabla \cdot \mathbf{F} = 3x^2 + 6y^2 + 9z^2 - 3
提示：注意常数项合并：$1-4=-3$。
步骤 3/8
目标：确定使积分值最小的曲面方程
为使积分值最小，应选取区域 $V$ 使得被积函数 $3x^2 + 6y^2 + 9z^2 - 3 \le 0$，即 $x^2 + 2y^2 + 3z^2 \le 1$。此时积分取最小值，曲面 $S$ 为该椭球面：$x^2 + 2y^2 + 3z^2 = 1$。
公式：x^2 + 2y^2 + 3z^2 = 1
提示：被积函数在椭球内非正，在椭球外为正，因此取椭球面可使积分最小。
步骤 4/8
目标：计算最小值积分（变量替换）
令 $u = x$, $v = \sqrt{2} y$, $w = \sqrt{3} z$，则雅可比行列式为 $\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)} = \frac{1}{\sqrt{6}}$。区域变为单位球 $u^2+v^2+w^2 \le 1$，被积函数变为 $3(u^2+v^2+w^2) - 3$。积分化为 $I_{\min} = \iiint_{u^2+v^2+w^2 \le 1} [3(u^2+v^2+w^2)-3] \cdot \frac{1}{\sqrt{6}} du dv dw$。
公式：I_{\min} = \frac{1}{\sqrt{6}} \iiint_{u^2+v^2+w^2 \le 1} [3(u^2+v^2+w^2)-3] dV
提示：雅可比行列式计算要仔细，注意系数。
步骤 5/8
目标：计算球坐标下的积分并得到最小值
在球坐标下，$\iiint (u^2+v^2+w^2) dV = \int_0^1 r^2 \cdot 4\pi r^2 dr = \frac{4\pi}{5}$，单位球体积为 $\frac{4\pi}{3}$。因此 $I_{\min} = \frac{1}{\sqrt{6}} \left( 3 \cdot \frac{4\pi}{5} - 3 \cdot \frac{4\pi}{3} \right) = \frac{1}{\sqrt{6}} \left( \frac{12\pi}{5} - 4\pi \right) = -\frac{8\pi}{5\sqrt{6}}$。
公式：I_{\min} = -\frac{8\pi}{5\sqrt{6}}
提示：注意 $4\pi = \frac{20\pi}{5}$，相减得 $-\frac{8\pi}{5}$。
步骤 6/8
目标：求第一卦限部分椭球面的切平面方程
设切点为 $(x_0, y_0, z_0)$ 满足 $x_0^2+2y_0^2+3z_0^2=1$，且 $x_0, y_0, z_0 > 0$。椭球面法向量为 $(2x_0, 4y_0, 6z_0)$，切平面方程为 $2x_0(x-x_0)+4y_0(y-y_0)+6z_0(z-z_0)=0$，化简得 $x_0 x + 2y_0 y + 3z_0 z = 1$。
公式：x_0 x + 2y_0 y + 3z_0 z = 1
提示：利用 $x_0^2+2y_0^2+3z_0^2=1$ 简化常数项。
步骤 7/8
目标：计算切平面与坐标平面围成的四面体体积
切平面在坐标轴上的截距：$x$轴截距 $\frac{1}{x_0}$，$y$轴截距 $\frac{1}{2y_0}$，$z$轴截距 $\frac{1}{3z_0}$。四面体体积 $V = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{x_0} \cdot \frac{1}{2y_0} \cdot \frac{1}{3z_0} = \frac{1}{36 x_0 y_0 z_0}$。
公式：V = \frac{1}{36 x_0 y_0 z_0}
提示：四面体体积公式为 $\frac{1}{6} \times$ 三截距之积。
步骤 8/8
目标：利用拉格朗日乘数法求体积最小值
在约束 $x_0^2+2y_0^2+3z_0^2=1$ 下最小化 $V$，等价于最大化 $x_0 y_0 z_0$。设 $F = \ln x_0 + \ln y_0 + \ln z_0 - \lambda (x_0^2+2y_0^2+3z_0^2-1)$。求偏导得：$\frac{1}{x_0} = 2\lambda x_0$, $\frac{1}{y_0} = 4\lambda y_0$, $\frac{1}{z_0} = 6\lambda z_0$。解得 $x_0^2 = \frac{1}{2\lambda}$, $y_0^2 = \frac{1}{4\lambda}$, $z_0^2 = \frac{1}{6\lambda}$。代入约束得 $\frac{1}{2\lambda} + 2 \cdot \frac{1}{4\lambda} + 3 \cdot \frac{1}{6\lambda} = 1$，即 $\frac{1}{2\lambda} + \frac{1}{2\lambda} + \frac{1}{2\lambda} = 1$，得 $\lambda = \frac{3}{2}$。因此 $x_0 = \frac{1}{\sqrt{3}}$, $y_0 = \frac{1}{\sqrt{6}}$, $z_0 = \frac{1}{3}$。最小体积 $V_{\min} = \frac{1}{36 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{\sqrt{6}} \cdot \frac{1}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$。
公式：V_{\min} = \frac{\sqrt{2}}{4}
提示：注意 $\lambda$ 的求解，三个方程相加时系数要正确。
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