重庆大学 2025年数学分析第0题

八、（20 分）设 $\displaystyle f(x)$ 为闭区间 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 上的实值黎曼可积函数，给定区间 $\displaystyle I \subset[-\pi, \pi], I$ 上的特征函数定义为：$\displaystyle \chi_{I}(x)=\left\{\begin{array}{l}1, x \in I \\ 0, x \notin I\end{array}\right.$ ．如果 $\displaystyle I_{1}, I_{2}, \cdots, I_{N}$ 为闭区间 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 中两两不交的子空间，$\displaystyle a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{N}$ 均为常数，且 $\displaystyle \bigcup_{k=1}^{N} I_{k}=[-\pi, \pi]$ ，那么我们称有限线性组合 $$ a_{1} \chi_{I_{1}}+a_{2} \chi_{I_{2}}+\cdots+a_{N} \chi_{I_{N}} $$ 为闭区间 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 上的阶梯函数． （1）证明：对 $\displaystyle \forall \varepsilon>0$ ，存在 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 上的阶梯函数 $\displaystyle \varphi(x)$ 和 $\displaystyle \psi(x)$ ，使得 $$ \varphi(x) \leq f(x) \leq \psi(x), x \in[-\pi, \pi] . $$ 并且 $\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}|\varphi(x)-f(x)| \mathrm{d} x<\varepsilon, \int_{-\pi}^{\pi}|\psi(x)-f(x)| \mathrm{d} x<\varepsilon$. （2）利用（1）中的结论证明： $$ \lim _{p \rightarrow+\infty} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin (p x) \mathrm{d} x=\lim _{p \rightarrow+\infty} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos (p x) \mathrm{d} x=0 $$ （3）将 $\displaystyle f(x)$ 延拓为 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上以 $\displaystyle 2 \pi$ 为周期的周期函数，延拓之后的函数仍记为 $\displaystyle f(x)$ ，证明：$\displaystyle f(x)$ 的傅里叶级数的部分和 $\displaystyle S_{n}(x)$ 可以写成 $$ S_{n}(x)=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x+t) \frac{\sin \left(\frac{2 n+1}{2} t\right)}{2 \sin \frac{t}{2}} \mathrm{~d} t, n=1,2, \cdots $$ （4）在第（3）小题的条件下，再假设 $\displaystyle x_{0} \in(-\pi, \pi)$ 是 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-\pi, \pi]$上的唯一间断点，且存在极限 $\displaystyle A=\lim _{x \rightarrow x_{0}^{+}} f(x), B=\lim _{x \rightarrow x_{0}^{-}} f(x)$ ， $$ \lim _{x \rightarrow x_{0}^{+}} \frac{f(x)-A}{x-x_{0}}, \lim _{x \rightarrow x_{0}^{-}} \frac{f(x)-B}{x-x_{0}} $$ 证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} S_{n}\left(x_{0}\right)=\frac{A+B}{2}$ ．