重庆大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
五、（15 分）判断下列命题的正误，正确的需给出证明，错误的需要举出反例．
（1）若级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x_{n}$ 收玫，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x_{n}}{n}$ 也收玫．
（2）若连续函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}_{n=1}^{+\infty}$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上逐点收敛于连续函数 $\displaystyle f(x)$ ，则函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}_{n=1}^{+\infty}$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ．
（3）若函数 $\displaystyle f(x), g(x)$ 都在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续，且 $\displaystyle g(x)$ 以 $x$ 轴为水平渐近线，则函数 $\displaystyle f(x) g(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：判断命题（1）的正误
考虑反例：取 $x_n = \frac{(-1)^n}{\ln(n+1)}$，则 $\sum_{n=1}^{\infty} x_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\ln(n+1)}$ 是交错级数，且 $\frac{1}{\ln(n+1)}$ 单调递减趋于0，由莱布尼茨判别法知该级数收敛。但此时 $(-1)^n \frac{x_n}{n} = (-1)^n \cdot \frac{(-1)^n}{n\ln(n+1)} = \frac{1}{n\ln(n+1)}$，而 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n\ln(n+1)}$ 发散（由积分判别法，$\int_2^{+\infty} \frac{1}{x\ln x} dx$ 发散）。因此命题（1）错误。
公式：\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\ln(n+1)} \text{ 收敛}, \quad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n\ln(n+1)} \text{ 发散}
提示：注意交错级数收敛的条件，以及构造反例时需确保原级数收敛而新级数发散。
步骤 2/4
目标：判断命题（2）的正误
考虑反例：令 $f_n(x) = n x e^{-nx}$，$x \in [0,1]$。每个 $f_n$ 在 $[0,1]$ 上连续，且对任意 $x \in [0,1]$，$\lim_{n\to\infty} f_n(x) = 0$，故逐点极限 $f(x)=0$ 连续。但在 $x_n = \frac{1}{n}$ 处，$f_n(\frac{1}{n}) = e^{-1} \neq 0$，因此不一致收敛。所以命题（2）错误。
公式：f_n(x)=nxe^{-nx}, \quad \lim_{n\to\infty} f_n\left(\frac{1}{n}\right)=e^{-1} \neq 0
提示：逐点收敛推不出一致收敛，需注意反例中函数列在某个点附近有“尖峰”现象。
步骤 3/4
目标：判断命题（3）的正误
命题（3）正确。证明思路：由于 $g(x)$ 一致连续且 $\lim_{x\to+\infty} g(x)=0$，则 $g(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上有界，设 $|g(x)|\leq M$。对任意 $\varepsilon>0$，由 $g(x)\to 0$ 知存在 $A>0$，当 $x\geq A$ 时 $|g(x)|<\varepsilon$。在 $[0,A+1]$ 上，$f$ 和 $g$ 一致连续，故 $f(x)g(x)$ 一致连续，存在 $\delta_1>0$ 控制。在 $[A,+\infty)$ 上，对任意 $x,y\geq A$ 且 $|x-y|<\delta_2$（$\delta_2$ 由 $g$ 的一致连续性给出），有 $|f(x)g(x)-f(y)g(y)| \leq |f(x)||g(x)-g(y)| + |g(y)||f(x)-f(y)|$。由于 $f$ 一致连续，存在 $\delta_3$ 使 $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$，且 $|g(y)|<\varepsilon$，但 $|f(x)|$ 可能无界，需进一步处理：实际上可先取 $A$ 足够大使得 $|g(x)|<\varepsilon/(1+\sup_{[0,A+1]}|f|)$，再结合 $f$ 在有限区间上的有界性及一致连续性，最终可证得整体一致连续。详细过程略。
公式：\lim_{x\to+\infty} g(x)=0, \quad f,g \text{ 一致连续} \Rightarrow fg \text{ 一致连续}
提示：注意无穷区间上一致连续函数的乘积不一定一致连续，但加上一个趋于0的条件可保证。
步骤 4/4
目标：总结三个命题的结论
（1）错误，反例为 $x_n = \frac{(-1)^n}{\ln(n+1)}$；（2）错误，反例为 $f_n(x)=nxe^{-nx}$；（3）正确，需利用一致连续性和极限为零的条件分段证明。
提示：判断命题时，注意区分逐点收敛与一致收敛，以及无穷区间上函数乘积的一致连续性条件。
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