重庆大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
六、（20分）设 $\displaystyle \mathbf{D}$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}^{2}$ 中由光滑简单封闭曲线 $\displaystyle \mathbf{C}$ 所围成的闭区域，二元函数
$f$ 和 $g$ 在 $D$ 上具有连续的二阶偏导数，记作：$\displaystyle \Delta f=\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}$ ．
（1）证明：
$$
\iint_{D}(g \Delta f) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\int_{C} g \xrightarrow[\partial \vec{n}]{\partial f} \mathrm{~d} s-\iint_{D}[\operatorname{grad}(f) \cdot \operatorname{grad}(g)] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
$$
其中 $\displaystyle \vec{n}$ 为曲线 $C$ 的外法单位向量，$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial \vec{n}}$ 表示 $f$ 沿 $\displaystyle \vec{n}$ 方向的方向导数，向量
$$
\operatorname{grad}(f)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right), \operatorname{grad}(g)=\left(\frac{\partial g}{\partial x}, \frac{\partial g}{\partial y}\right)
$$
（2）证明：若 $f$ 在曲线 $C$ 上满足 $\displaystyle f \equiv 0$ ，则
$$
\iint_{D}\left(|f|^{2}+|\Delta f|^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \geq 2 \iint_{D}|\operatorname{grad}(f)|^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y .
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：引入向量场并计算散度
考虑向量场 $\mathbf{F} = g \nabla f = \left( g \frac{\partial f}{\partial x}, g \frac{\partial f}{\partial y} \right)$。计算其散度：
$$
\nabla \cdot (g \nabla f) = \frac{\partial}{\partial x}\left(g \frac{\partial f}{\partial x}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\left(g \frac{\partial f}{\partial y}\right).
$$
利用乘积法则展开：
$$
= \frac{\partial g}{\partial x} \frac{\partial f}{\partial x} + g \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial g}{\partial y} \frac{\partial f}{\partial y} + g \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}.
$$
合并第二项和第四项得 $g \Delta f$，第一项和第三项为 $\nabla g \cdot \nabla f$，因此：
$$
\nabla \cdot (g \nabla f) = g \Delta f + \nabla f \cdot \nabla g.
$$
公式：\nabla \cdot (g \nabla f) = g \Delta f + \nabla f \cdot \nabla g
提示：注意乘积法则的正确应用，不要遗漏交叉项。
步骤 2/7
目标：应用散度定理（二维高斯公式）
对等式两边在区域 $D$ 上积分，并应用散度定理：
$$
\iint_D \nabla \cdot (g \nabla f) \, dxdy = \int_C (g \nabla f) \cdot \vec{n} \, ds,
$$
其中 $\vec{n}$ 是曲线 $C$ 的外法向单位向量。代入散度表达式得：
$$
\iint_D (g \Delta f + \nabla f \cdot \nabla g) \, dxdy = \int_C (g \nabla f) \cdot \vec{n} \, ds.
$$
公式：\iint_D \nabla \cdot \mathbf{F} \, dxdy = \int_C \mathbf{F} \cdot \vec{n} \, ds
提示：散度定理要求向量场连续可微，这里 $f,g$ 二阶连续偏导满足条件。
步骤 3/7
目标：利用方向导数简化边界积分
注意到 $(g \nabla f) \cdot \vec{n} = g (\nabla f \cdot \vec{n})$，而方向导数的定义为 $\frac{\partial f}{\partial \vec{n}} = \nabla f \cdot \vec{n}$，因此边界积分化为：
$$
\int_C g \frac{\partial f}{\partial \vec{n}} \, ds.
$$
代入上一步等式得：
$$
\iint_D g \Delta f \, dxdy + \iint_D \nabla f \cdot \nabla g \, dxdy = \int_C g \frac{\partial f}{\partial \vec{n}} \, ds.
$$
公式：\frac{\partial f}{\partial \vec{n}} = \nabla f \cdot \vec{n}
提示：方向导数与梯度点乘外法向的关系是本题关键，注意外法向与切向的区别。
步骤 4/7
目标：移项得到第一问结论
将上一步等式中的积分项移项，即得：
$$
\iint_D g \Delta f \, dxdy = \int_C g \frac{\partial f}{\partial \vec{n}} \, ds - \iint_D \nabla f \cdot \nabla g \, dxdy.
$$
这正是题目要证明的等式，其中 $\nabla f \cdot \nabla g = \operatorname{grad}(f) \cdot \operatorname{grad}(g)$。第一问证毕。
公式：\iint_D g \Delta f \, dxdy = \int_C g \frac{\partial f}{\partial \vec{n}} \, ds - \iint_D \operatorname{grad}(f) \cdot \operatorname{grad}(g) \, dxdy
提示：注意移项时符号变化，最终结果与题目一致。
步骤 5/7
目标：利用第一问结论，取g=f并利用边界条件
在第二问中，已知 $f$ 在边界 $C$ 上恒为零，即 $f \equiv 0$。取第一问中的 $g = f$，则：
$$
\iint_D f \Delta f \, dxdy = \int_C f \frac{\partial f}{\partial \vec{n}} \, ds - \iint_D |\nabla f|^2 \, dxdy.
$$
由于在边界上 $f=0$，线积分为零，因此：
$$
\iint_D f \Delta f \, dxdy = - \iint_D |\nabla f|^2 \, dxdy.
$$
公式：\iint_D f \Delta f \, dxdy = - \iint_D |\nabla f|^2 \, dxdy
提示：边界条件 $f \equiv 0$ 是线积分消失的关键，注意不要遗漏。
步骤 6/7
目标：应用基本不等式估计积分
考虑对任意实数 $a, b$ 有 $a^2 + b^2 \ge 2|ab|$。取 $a = |f|$, $b = |\Delta f|$，则：
$$
|f|^2 + |\Delta f|^2 \ge 2 |f \Delta f|.
$$
在区域 $D$ 上积分得：
$$
\iint_D (|f|^2 + |\Delta f|^2) \, dxdy \ge 2 \iint_D |f \Delta f| \, dxdy \ge 2 \left| \iint_D f \Delta f \, dxdy \right|.
$$
公式：a^2 + b^2 \ge 2|ab|
提示：绝对值不等式 $\iint |h| \ge |\iint h|$ 用于将绝对值移到积分外，注意方向。
步骤 7/7
目标：代入前一步结果完成证明
将第五步得到的 $\iint_D f \Delta f \, dxdy = - \iint_D |\nabla f|^2 \, dxdy$ 代入上一步的不等式：
$$
\iint_D (|f|^2 + |\Delta f|^2) \, dxdy \ge 2 \left| - \iint_D |\nabla f|^2 \, dxdy \right| = 2 \iint_D |\nabla f|^2 \, dxdy.
$$
这正是要证明的不等式。第二问证毕。
公式：\iint_D (|f|^2 + |\Delta f|^2) \, dxdy \ge 2 \iint_D |\nabla f|^2 \, dxdy
提示：注意绝对值去掉后，负号不影响结果，因为 $|\nabla f|^2$ 非负。
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