重庆市统考 2026年数学分析第0题
📝 题目
1．求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln \sqrt{x}+\sin ^{2} x}{x}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：化简分子中的对数部分
将 $\ln \sqrt{x}$ 化简为 $\frac{1}{2} \ln x$，因为 $\ln \sqrt{x} = \ln(x^{1/2}) = \frac{1}{2} \ln x$。于是原极限变为：
$$\lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{1}{2}\ln x + \sin^2 x}{x}$$
公式：\ln \sqrt{x} = \frac{1}{2} \ln x
提示：注意对数性质：$\ln a^b = b \ln a$，这里 $a=x$，$b=1/2$。
步骤 2/5
目标：将极限拆分为两部分的和
根据极限的加法法则，若各部分极限存在，可将极限拆分为：
$$\lim_{x\to+\infty} \frac{\frac{1}{2}\ln x}{x} + \lim_{x\to+\infty} \frac{\sin^2 x}{x}$$
公式：\lim (A+B) = \lim A + \lim B
提示：拆分前需确认各部分极限存在，此处后续将证明它们均为0，故拆分合理。
步骤 3/5
目标：计算第一项极限
考虑 $\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{x}$。由于对数函数增长慢于任何正幂函数，特别地慢于一次函数，故该极限为0。因此：
$$\lim_{x\to+\infty} \frac{\frac{1}{2}\ln x}{x} = \frac{1}{2} \cdot 0 = 0$$
公式：\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{x} = 0
提示：常用结论：$\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln^a x}{x^b}=0$（$a>0,b>0$），这里$a=1,b=1$。
步骤 4/5
目标：计算第二项极限
由于 $0 \le \sin^2 x \le 1$，有不等式：
$$0 \le \frac{\sin^2 x}{x} \le \frac{1}{x}$$
当 $x\to+\infty$ 时，$\frac{1}{x} \to 0$，由夹逼定理得：
$$\lim_{x\to+\infty} \frac{\sin^2 x}{x} = 0$$
公式：0 \le \frac{\sin^2 x}{x} \le \frac{1}{x}
提示：夹逼定理使用关键：找到上下界，且上下界极限相等。注意 $\sin^2 x$ 有界但不收敛，但除以 $x$ 后趋于0。
步骤 5/5
目标：合并结果得到最终极限
两部分极限均为0，因此原极限为：
$$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln \sqrt{x}+\sin^2 x}{x} = 0 + 0 = 0$$
公式：\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln \sqrt{x}+\sin^2 x}{x} = 0
提示：最终结果0，注意不要遗漏常数因子$\frac{1}{2}$的影响，但此处不影响。
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