📝 重庆市统考 2026年数学分析真题
第0题
1．求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln \sqrt{x}+\sin ^{2} x}{x}$ ．
第0题
2．设 $a>0$ ，求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt{a} \sqrt[4]{a} \sqrt[8]{a} \cdots \sqrt[2^{n}]{a}$ ．
第0题
3．求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left[x-x^{3} \ln \left(1+\frac{1}{x^{2}}\right)\right]$ ．
第0题
4．求极限
$$
\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+2^{2}}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+n^{2}}}\right)
$$
$$
\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+2^{2}}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+n^{2}}}\right)
$$
第0题
5．已知函数
$$
g(t)= \begin{cases}t+2, & t \geq 0 \\ A t^{3}+B t^{2}+C t+D, & -r$$
连续可微，其中 $r>0$ ．
（1）求 $A, B, C, D$ 的值．
（2）求导函数 $g^{\prime}(t)$ ．
$$
g(t)= \begin{cases}t+2, & t \geq 0 \\ A t^{3}+B t^{2}+C t+D, & -r
连续可微，其中 $r>0$ ．
（1）求 $A, B, C, D$ 的值．
（2）求导函数 $g^{\prime}(t)$ ．
第0题
6．已知函数 $\displaystyle f(x)=\int_{1}^{x^{2}} \frac{\sin t}{t} \mathrm{~d} t$ ，求 $\int_{0}^{1} x(f(x)+1) \mathrm{d} x$ ．
第0题
7．求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^{n}}{n+1}$ 的收敛域与和函数．
第0题
8．求由方程 $z \sin y+x e^{z}=1$ 所确定的隐函数 $z=f(x, y)$ 在点 $(1,0)$ 的全微分．
第0题
9．计算曲线积分 $\oint_{L} x e^{2 x y} \mathrm{~d} s$ ，其中 $L$ 是以 $O(0,0), A(1,0), B(1,1)$ 为顶点的三角形．
第0题
10．求曲面积分
$$
\oiint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y
$$
其中 $S$ 为曲面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 与 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2$ 所围立体的表面，方向取外侧．
$$
\oiint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y
$$
其中 $S$ 为曲面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 与 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2$ 所围立体的表面，方向取外侧．
第0题
11．设 $F(\theta)=\int_{0}^{\pi} \ln (1-\theta \cos x) \mathrm{d} x, \theta \in(-1,1)$ ．
（1）求 $F^{\prime}(\theta)$ ．
（2）求 $\displaystyle F\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ 的值．
（1）求 $F^{\prime}(\theta)$ ．
（2）求 $\displaystyle F\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ 的值．
第0题
12．点 $M_{1}\left(x_{1}, y_{1}\right), M_{2}\left(x_{2}, y_{2}\right)$ 的距离定义为
$$
\begin{gathered}
d_{1}\left(M_{1}, M_{2}\right)=\sqrt{\left|x_{2}-x_{1}\right|^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}} \\
d_{2}\left(M_{1}, M_{2}\right)=\left|x_{2}-x_{1}\right|+\left|y_{2}-y_{1}\right|
\end{gathered}
$$
证明：平面点列 $\left\{\left(x_{n}, y_{n}\right)\right\}$ 按距离 $d_{1}$ 收玫到 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的充要条件是 $\left\{\left(x_{n}, y_{n}\right)\right\}$ 按距离 $d_{2}$ 收敛到 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ．
$$
\begin{gathered}
d_{1}\left(M_{1}, M_{2}\right)=\sqrt{\left|x_{2}-x_{1}\right|^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}} \\
d_{2}\left(M_{1}, M_{2}\right)=\left|x_{2}-x_{1}\right|+\left|y_{2}-y_{1}\right|
\end{gathered}
$$
证明：平面点列 $\left\{\left(x_{n}, y_{n}\right)\right\}$ 按距离 $d_{1}$ 收玫到 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的充要条件是 $\left\{\left(x_{n}, y_{n}\right)\right\}$ 按距离 $d_{2}$ 收敛到 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ．
第0题
13．设 $a>1$ ，证明不等式： $\displaystyle 2 a^{\frac{1}{2}} \leq a^{x}+a^{1-x} \leq 1+a, x \in[0,1]$ ．
第0题
14．已知
$$
f(x, y)= \begin{cases}\left(x^{2}+y^{2}\right) \cos \frac{1}{x^{2}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0\end{cases}
$$
（1）证明：函数 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微．
（2）证明：函数 $f(x, y)$ 的偏导数在 $(0,0)$ 处不连续．
$$
f(x, y)= \begin{cases}\left(x^{2}+y^{2}\right) \cos \frac{1}{x^{2}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0\end{cases}
$$
（1）证明：函数 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微．
（2）证明：函数 $f(x, y)$ 的偏导数在 $(0,0)$ 处不连续．
第0题
15．已知 $f(x)$ 在 $(a,+\infty)$ 上可导，且 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=A$ ．
（1）若 $A>0$ ，证明： $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty$ ．
（2）若 $A=0$ ，证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}=0$ ．
（1）若 $A>0$ ，证明： $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty$ ．
（2）若 $A=0$ ，证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}=0$ ．