重庆市统考 2026年数学分析第0题
📝 题目
15．已知 $f(x)$ 在 $(a,+\infty)$ 上可导，且 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=A$ ．
（1）若 $A>0$ ，证明： $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty$ ．
（2）若 $A=0$ ，证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}=0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：利用极限定义，由导数的正极限推出导数在无穷远处有正下界
已知 $\lim_{x \to +\infty} f'(x) = A > 0$。取 $\varepsilon = \frac{A}{2} > 0$，则存在 $X > a$，使得当 $x > X$ 时，有 $|f'(x) - A| < \frac{A}{2}$。由此可得 $f'(x) > A - \frac{A}{2} = \frac{A}{2} > 0$，即导数在 $(X, +\infty)$ 上恒大于正常数 $\frac{A}{2}$。
公式：$f'(x) > \frac{A}{2} > 0, \quad \forall x > X$
提示：注意 $\varepsilon$ 的选取要使得下界为正，这是后续放缩的关键。
步骤 2/6
目标：应用拉格朗日中值定理，建立函数值与自变量之间的线性增长关系
任取 $x > X$，在区间 $[X, x]$ 上应用拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (X, x)$，使得 $f(x) - f(X) = f'(\xi)(x - X)$。由于 $\xi > X$，有 $f'(\xi) > \frac{A}{2}$，因此 $f(x) > f(X) + \frac{A}{2}(x - X)$。
公式：$f(x) > f(X) + \frac{A}{2}(x - X)$
提示：中值定理的使用需要函数在闭区间上连续、开区间内可导，题目条件已满足。
步骤 3/6
目标：取极限，证明函数趋于正无穷
对上述不等式两边取 $x \to +\infty$ 的极限：$\lim_{x \to +\infty} f(x) \ge \lim_{x \to +\infty} \left[ f(X) + \frac{A}{2}(x - X) \right] = +\infty$。因此 $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$。
公式：$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$
提示：不等式只能得到下界趋于无穷，但结合极限定义即可证明结论。
步骤 4/6
目标：处理第二问：利用导数极限为零，控制导数的绝对值
已知 $\lim_{x \to +\infty} f'(x) = 0$。对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $M > a$，使得当 $t > M$ 时，$|f'(t)| < \frac{\varepsilon}{2}$。
公式：$|f'(t)| < \frac{\varepsilon}{2}, \quad \forall t > M$
提示：这里 $\varepsilon$ 是最终要证明的极限定义中的任意正数。
步骤 5/6
目标：将函数拆分为固定部分和积分部分，并估计积分项
对任意 $x > M$，将 $f(x)$ 写为 $f(x) = f(M) + \int_M^x f'(t)\,dt$。于是 $\frac{f(x)}{x} = \frac{f(M)}{x} + \frac{1}{x} \int_M^x f'(t)\,dt$。对积分项进行放缩：$\left| \frac{1}{x} \int_M^x f'(t)\,dt \right| \le \frac{1}{x} \int_M^x |f'(t)|\,dt < \frac{1}{x} \int_M^x \frac{\varepsilon}{2}\,dt = \frac{\varepsilon}{2} \cdot \frac{x-M}{x} < \frac{\varepsilon}{2}$。
公式：$\left| \frac{1}{x} \int_M^x f'(t)\,dt \right| < \frac{\varepsilon}{2}$
提示：注意 $\frac{x-M}{x} < 1$，因此积分项绝对值小于 $\frac{\varepsilon}{2}$。
步骤 6/6
目标：估计常数项并合并，由极限定义得出结论
对于第一项 $\frac{f(M)}{x}$，由于 $f(M)$ 是常数，当 $x$ 充分大时，有 $\left| \frac{f(M)}{x} \right| < \frac{\varepsilon}{2}$。因此，当 $x > \max\{M, \frac{2|f(M)|}{\varepsilon}\}$ 时，$\left| \frac{f(x)}{x} \right| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon$。由极限定义得 $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 0$。
公式：$\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 0$
提示：常数项的处理需要单独取一个充分大的 $x$ 条件，与积分项的条件合并即可。
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