重庆市统考 2026年数学分析第0题
📝 题目
5．已知函数
$$
g(t)= \begin{cases}t+2, & t \geq 0 \\ A t^{3}+B t^{2}+C t+D, & -r
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：明确连续可微条件，建立方程基础
函数 $g(t)$ 分段定义，要求在 $t=0$ 和 $t=-r$ 处连续且导数连续。因此在这两个点处，左右函数值相等，左右导数值也相等。
公式：连续：$\lim_{t\to 0^-}g(t)=g(0)$，$\lim_{t\to -r^-}g(t)=g(-r)$；可微：$\lim_{t\to 0^-}g'(t)=g'(0^+)$，$\lim_{t\to -r^-}g'(t)=g'(-r^+)$
提示：注意分段点处要分别考虑左右极限，不要遗漏导数连续条件。
步骤 2/7
目标：在 t=0 处应用连续条件，求出 D
由 $t\ge 0$ 段得 $g(0^+)=0+2=2$；由 $-r
公式：$D=2$
提示：代入 t=0 时，三次项、二次项、一次项均为零，只剩常数项 D。
步骤 3/7
目标：在 t=0 处应用导数连续条件，求出 C
当 $t>0$ 时 $g'(t)=1$，故 $g'(0^+)=1$。当 $-r
公式：$C=1$
提示：求导时注意多项式求导法则，代入 t=0 时只有常数项 C 保留。
步骤 4/7
目标：在 t=-r 处应用连续条件，得到方程 (1)
从右侧 $-r
公式：$-Ar^3+Br^2-r+2=0$ (1)
提示：注意 $(-r)^3=-r^3$，$(-r)^2=r^2$，符号不要弄错。
步骤 5/7
目标：在 t=-r 处应用导数连续条件，得到方程 (2)
从右侧 $-r
公式：$3Ar^2-2Br+1=0$ (2)
提示：注意 $t=-r$ 处左侧导数为 0，因为函数在 $t\le -r$ 时恒为 0。
步骤 6/7
目标：解方程组求出 A 和 B
由方程 (2) 得 $B=\frac{3Ar^2+1}{2r}$。代入方程 (1)：$-Ar^3+\frac{3Ar^2+1}{2r}\cdot r^2 - r + 2 = 0$，化简得 $-Ar^3+\frac{3Ar^3+r}{2}-r+2=0$，乘以 2 得 $-2Ar^3+3Ar^3+r-2r+4=0$，即 $Ar^3 - r + 4 = 0$，所以 $A=\frac{r-4}{r^3}$。代回得 $B=\frac{3\cdot\frac{r-4}{r^3}\cdot r^2+1}{2r}=\frac{\frac{3(r-4)}{r}+1}{2r}=\frac{4r-12}{2r^2}=\frac{2r-6}{r^2}$。
公式：$A=\frac{r-4}{r^3}$，$B=\frac{2r-6}{r^2}$
提示：解方程时注意通分和化简，避免代数错误。
步骤 7/7
目标：写出导函数 g'(t) 的分段表达式
当 $t>0$ 时 $g'(t)=1$；当 $-r
公式：$g'(t)=\begin{cases} 1, & t>0 \\ \frac{3(r-4)}{r^3}t^2+\frac{4r-12}{r^2}t+1, & -r
提示：导函数在分段点处不必单独写，因为连续条件已保证左右导数相等。
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