重庆市统考 2026年数学分析第0题
📝 题目
13．设 $a>1$ ，证明不等式： $\displaystyle 2 a^{\frac{1}{2}} \leq a^{x}+a^{1-x} \leq 1+a, x \in[0,1]$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：分析函数并证明右边不等式
考虑函数 $f(x) = a^x + a^{1-x}$，其中 $a>1$，$x \in [0,1]$。求导得 $f'(x) = a^x \ln a - a^{1-x} \ln a = \ln a (a^x - a^{1-x})$。由于 $\ln a > 0$，导数符号由 $a^x - a^{1-x}$ 决定。当 $x < \frac{1}{2}$ 时，$x < 1-x$，$a^x < a^{1-x}$，$f'(x) < 0$，函数递减；当 $x > \frac{1}{2}$ 时，$f'(x) > 0$，函数递增。因此 $f(x)$ 在端点 $x=0$ 和 $x=1$ 处取得最大值。计算 $f(0) = a^0 + a^1 = 1 + a$，$f(1) = a^1 + a^0 = a + 1$，故 $f(x) \leq 1 + a$，右边不等式得证。
公式：f'(x) = \ln a (a^x - a^{1-x})
提示：注意 $a>1$ 时 $\ln a > 0$，导数符号仅取决于 $a^x$ 与 $a^{1-x}$ 的大小比较。
步骤 2/3
目标：证明左边不等式
由单调性分析，$f(x)$ 在 $x = \frac{1}{2}$ 处取得最小值。计算 $f\left(\frac{1}{2}\right) = a^{1/2} + a^{1-1/2} = a^{1/2} + a^{1/2} = 2a^{1/2}$。因此 $f(x) \geq 2a^{1/2}$，左边不等式得证。
公式：f\left(\frac{1}{2}\right) = 2a^{1/2}
提示：最小值点由导数为零确定，注意 $x=1/2$ 在区间 $[0,1]$ 内。
步骤 3/3
目标：综合结论
综合以上两部分，对于任意 $a>1$ 和 $x \in [0,1]$，有 $2a^{1/2} \leq a^x + a^{1-x} \leq 1 + a$，不等式得证。
公式：2a^{1/2} \leq a^x + a^{1-x} \leq 1 + a
提示：注意等号成立条件：左边等号在 $x=1/2$ 时取得，右边等号在 $x=0$ 或 $x=1$ 时取得。
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