重庆市统考 2026年数学分析第0题

由偏导数的定义，计算 $f_x(0,0)$： $$ f_x(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h,0) - f(0,0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 \cos\frac{1}{h^2}}{h} = \lim_{h \to 0} h \cos\frac{1}{h^2} = 0. $$ 同理可得 $f_y(0,0) = 0$。因此取 $A=0, B=0$。

根据可微定义，需验证： $$ \lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{f(h,k)-f(0,0)-0\cdot h-0\cdot k}{\sqrt{h^2+k^2}} = \lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{(h^2+k^2)\cos\frac{1}{h^2+k^2}}{\sqrt{h^2+k^2}} = \lim_{(h,k)\to(0,0)} \sqrt{h^2+k^2} \cos\frac{1}{h^2+k^2}. $$ 由于 $\left|\sqrt{h^2+k^2} \cos\frac{1}{h^2+k^2}\right| \le \sqrt{h^2+k^2} \to 0$，故极限为0。

由上述两步，存在常数 $A=0, B=0$ 使得可微定义中的极限为0，因此函数 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处可微。

当 $(x,y) \neq (0,0)$ 时，令 $r^2 = x^2+y^2$，则 $f(x,y) = r^2 \cos\frac{1}{r^2}$。对 $x$ 求偏导： $$ f_x(x,y) = 2x \cos\frac{1}{r^2} + r^2 \cdot \left(-\sin\frac{1}{r^2}\right) \cdot \left(-\frac{2x}{r^4}\right) = 2x \cos\frac{1}{r^2} - \frac{2x}{r^2} \sin\frac{1}{r^2}. $$

考虑沿 $x$ 轴趋于原点，即 $y=0, x \to 0^+$，此时 $r^2 = x^2$，则 $$ f_x(x,0) = 2x \cos\frac{1}{x^2} - \frac{2}{x} \sin\frac{1}{x^2}. $$ 当 $x \to 0$ 时，第一项 $2x \cos(1/x^2) \to 0$，但第二项 $-\frac{2}{x} \sin(1/x^2)$ 无极限（例如取 $x_n = 1/\sqrt{2n\pi}$ 时值为0，取 $x_n = 1/\sqrt{(2n+0.5)\pi}$ 时值趋于 $-\infty$）。因此 $\lim_{x\to 0} f_x(x,0)$ 不存在，故 $f_x(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处不连续。同理可证 $f_y$ 也不连续。