重庆市统考 2026年数学分析第0题
📝 题目
2．设 $a>0$ ，求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt{a} \sqrt[4]{a} \sqrt[8]{a} \cdots \sqrt[2^{n}]{a}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将根式写成指数形式
将每个根式转换为指数形式：
\[ \sqrt{a} = a^{1/2}, \quad \sqrt[4]{a} = a^{1/4}, \quad \sqrt[8]{a} = a^{1/8}, \dots, \sqrt[2^n]{a} = a^{1/2^n}. \]
因此原乘积为：
\[ a^{1/2} \cdot a^{1/4} \cdot a^{1/8} \cdots a^{1/2^n}. \]
公式：\sqrt[2^k]{a} = a^{1/2^k}
提示：注意根指数是2的幂，不要混淆为平方根。
步骤 2/4
目标：合并指数
同底数幂相乘，指数相加：
\[ a^{1/2} \cdot a^{1/4} \cdot a^{1/8} \cdots a^{1/2^n} = a^{\frac12 + \frac14 + \frac18 + \cdots + \frac{1}{2^n}}. \]
公式：a^m \cdot a^n = a^{m+n}
提示：确保指数相加时不要遗漏项。
步骤 3/4
目标：求指数的和
指数部分是一个等比数列：首项 \( \frac12 \)，公比 \( \frac12 \)，项数 \( n \)。
前 \( n \) 项和为：
\[ S_n = \frac{\frac12 \left(1 - (1/2)^n\right)}{1 - 1/2} = \frac{\frac12 \left(1 - 2^{-n}\right)}{\frac12} = 1 - 2^{-n}. \]
因此原式等于 \( a^{1 - 2^{-n}} \).
公式：S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}
提示：公比小于1时，求和公式分子为1减公比的n次方，注意符号。
步骤 4/4
目标：取极限
当 \( n \to \infty \) 时，\( 2^{-n} \to 0 \)，因此指数 \( 1 - 2^{-n} \to 1 \)。
由于 \( a > 0 \)，指数函数连续，极限为：
\[ \lim_{n \to \infty} a^{1 - 2^{-n}} = a^1 = a. \]
公式：\lim_{n \to \infty} a^{1 - 2^{-n}} = a
提示：注意a>0保证指数函数连续，可直接代入极限。
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