重庆市统考 2026年数学分析第0题
📝 题目
3．求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left[x-x^{3} \ln \left(1+\frac{1}{x^{2}}\right)\right]$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：变量代换简化极限形式
令 $t = \frac{1}{x}$，则当 $x \to +\infty$ 时，$t \to 0^+$。同时有 $x = \frac{1}{t}$，$x^3 = \frac{1}{t^3}$，且 $\ln\left(1 + \frac{1}{x^2}\right) = \ln(1 + t^2)$。原极限化为：
$$
\lim_{t \to 0^+} \left[ \frac{1}{t} - \frac{1}{t^3} \ln(1 + t^2) \right]
$$
公式：$t = \frac{1}{x}$，$\ln\left(1+\frac{1}{x^2}\right) = \ln(1+t^2)$
提示：注意 $t \to 0^+$ 时，$\ln(1+t^2)$ 是无穷小量，适合展开。
步骤 2/4
目标：将对数函数进行泰勒展开
当 $u \to 0$ 时，$\ln(1+u) = u - \frac{u^2}{2} + \frac{u^3}{3} - \cdots$。令 $u = t^2$，则：
$$
\ln(1 + t^2) = t^2 - \frac{t^4}{2} + \frac{t^6}{3} - \cdots
$$
公式：$\ln(1+u) = u - \frac{u^2}{2} + \frac{u^3}{3} - \cdots$
提示：展开到足够高阶，确保后续抵消后保留最低次项。
步骤 3/4
目标：代入展开式并化简
将展开式代入极限表达式：
$$
\frac{1}{t} - \frac{1}{t^3}\left( t^2 - \frac{t^4}{2} + \frac{t^6}{3} - \cdots \right) = \frac{1}{t} - \left( \frac{1}{t} - \frac{t}{2} + \frac{t^3}{3} - \cdots \right)
$$
化简得：
$$
\frac{t}{2} - \frac{t^3}{3} + \cdots
$$
公式：$\frac{1}{t} - \frac{1}{t^3}\ln(1+t^2) = \frac{t}{2} - \frac{t^3}{3} + \cdots$
提示：注意 $\frac{1}{t}$ 项正好抵消，避免计算错误。
步骤 4/4
目标：取极限得到最终结果
当 $t \to 0^+$ 时，$\frac{t}{2} \to 0$，高阶项 $\frac{t^3}{3}$ 等也趋于 0，因此极限为 0。
$$
\lim_{t \to 0^+} \left( \frac{t}{2} - \frac{t^3}{3} + \cdots \right) = 0
$$
故原极限为 $0$。
公式：$\lim_{t \to 0^+} \frac{t}{2} = 0$
提示：不要忘记高阶项在 $t \to 0$ 时均为 0，极限由最低次项决定。
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