重庆市统考 2026年数学分析第0题
📝 题目
4．求极限
$$
\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+2^{2}}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+n^{2}}}\right)
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将通项改写为适合积分的形式
原和式的第k项为 \(\frac{1}{\sqrt{n^2 + k^2}}\)，提取因子 \(\frac{1}{n}\) 得到 \(\frac{1}{n \sqrt{1 + (k/n)^2}}\)，因此和式可写为 \(\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{1 + (k/n)^2}}\)。
公式：\frac{1}{\sqrt{n^2 + k^2}} = \frac{1}{n \sqrt{1 + (k/n)^2}}
提示：注意提取 \(\frac{1}{n}\) 后，分母中根号内要化为 \(1 + (k/n)^2\)，这是将和式转化为黎曼和的关键步骤。
步骤 2/4
目标：识别黎曼和并转化为定积分
令 \(x_k = \frac{k}{n}\)，则 \(\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{1 + (k/n)^2}}\) 是函数 \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\) 在区间 \([0,1]\) 上的黎曼和（取右端点），当 \(n \to \infty\) 时极限等于定积分 \(\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \, dx\)。
公式：\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right) = \int_0^1 f(x) \, dx
提示：确认积分区间：\(k\) 从1到 \(n\)，对应 \(x\) 从 \(1/n\) 到1，当 \(n \to \infty\) 时左端点趋于0，因此积分区间为 \([0,1]\)。
步骤 3/4
目标：计算定积分
利用基本积分公式 \(\int \frac{dx}{\sqrt{1+x^2}} = \ln\left(x + \sqrt{1+x^2}\right) + C\)，计算定积分：
\[\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{1+x^2}} = \left[ \ln\left(x + \sqrt{1+x^2}\right) \right]_0^1 = \ln(1+\sqrt{2}) - \ln(1) = \ln(1+\sqrt{2}).\]
公式：\int \frac{dx}{\sqrt{1+x^2}} = \ln\left(x + \sqrt{1+x^2}\right) + C
提示：代入上下限时注意 \(\ln 1 = 0\)，结果化简为 \(\ln(1+\sqrt{2})\)。
步骤 4/4
目标：写出最终答案
原极限等于定积分的结果，因此极限值为 \(\ln(1+\sqrt{2})\)。
公式：\lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{\sqrt{n^2+1^2}} + \frac{1}{\sqrt{n^2+2^2}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{n^2+n^2}}\right) = \ln(1+\sqrt{2})
提示：最终答案应化为最简形式，不需要进一步化简。
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