重庆市统考 2026年数学分析第0题
📝 题目
6．已知函数 $\displaystyle f(x)=\int_{1}^{x^{2}} \frac{\sin t}{t} \mathrm{~d} t$ ，求 $\int_{0}^{1} x(f(x)+1) \mathrm{d} x$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：化简被积表达式，将原积分拆分为两部分
原积分为 $\int_{0}^{1} x(f(x)+1) \mathrm{d}x = \int_{0}^{1} x f(x) \mathrm{d}x + \int_{0}^{1} x \mathrm{d}x$。其中 $\int_{0}^{1} x \mathrm{d}x = \frac{1}{2}$，因此只需计算 $J = \int_{0}^{1} x f(x) \mathrm{d}x$。
公式：$\int_{0}^{1} x(f(x)+1) \mathrm{d}x = \int_{0}^{1} x f(x) \mathrm{d}x + \frac{1}{2}$
提示：注意拆分后分别处理，简化计算。
步骤 2/6
目标：对 $J$ 应用分部积分法
令 $u = f(x)$，$\mathrm{d}v = x \mathrm{d}x$，则 $\mathrm{d}u = f'(x) \mathrm{d}x$，$v = \frac{x^2}{2}$。由分部积分公式：$J = \left[ \frac{x^2}{2} f(x) \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{x^2}{2} f'(x) \mathrm{d}x$。计算边界项：$x=1$ 时 $f(1)=0$，$x=0$ 时 $x^2=0$，故边界项为 $0$。于是 $J = -\frac{1}{2} \int_{0}^{1} x^2 f'(x) \mathrm{d}x$。
公式：$J = -\frac{1}{2} \int_{0}^{1} x^2 f'(x) \mathrm{d}x$
提示：分部积分时注意边界项是否为零，避免遗漏。
步骤 3/6
目标：利用莱布尼茨法则求 $f'(x)$
由 $f(x) = \int_{1}^{x^2} \frac{\sin t}{t} \mathrm{d}t$，对 $x$ 求导得 $f'(x) = \frac{\sin(x^2)}{x^2} \cdot 2x = \frac{2\sin(x^2)}{x}$。
公式：$f'(x) = \frac{2\sin(x^2)}{x}$
提示：注意上限是 $x^2$，求导时需乘以 $2x$。
步骤 4/6
目标：将 $f'(x)$ 代入 $J$ 并化简
代入得 $J = -\frac{1}{2} \int_{0}^{1} x^2 \cdot \frac{2\sin(x^2)}{x} \mathrm{d}x = -\frac{1}{2} \int_{0}^{1} 2x \sin(x^2) \mathrm{d}x = -\int_{0}^{1} x \sin(x^2) \mathrm{d}x$。
公式：$J = -\int_{0}^{1} x \sin(x^2) \mathrm{d}x$
提示：化简时注意约去 $x$，并处理系数。
步骤 5/6
目标：计算积分 $\int_{0}^{1} x \sin(x^2) \mathrm{d}x$
令 $u = x^2$，则 $\mathrm{d}u = 2x \mathrm{d}x$，即 $x \mathrm{d}x = \frac{1}{2} \mathrm{d}u$。当 $x=0$ 时 $u=0$，$x=1$ 时 $u=1$。于是 $\int_{0}^{1} x \sin(x^2) \mathrm{d}x = \int_{0}^{1} \frac{1}{2} \sin u \mathrm{d}u = \frac{1}{2} [-\cos u]_{0}^{1} = \frac{1}{2}(-\cos 1 + \cos 0) = \frac{1 - \cos 1}{2}$。
公式：$\int_{0}^{1} x \sin(x^2) \mathrm{d}x = \frac{1 - \cos 1}{2}$
提示：换元时注意积分限的变换，并正确计算三角函数值。
步骤 6/6
目标：得到 $J$ 的值并代回原积分
由 $J = -\int_{0}^{1} x \sin(x^2) \mathrm{d}x = -\frac{1 - \cos 1}{2} = \frac{\cos 1 - 1}{2}$。则原积分 $I = J + \frac{1}{2} = \frac{\cos 1 - 1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{\cos 1}{2}$。
公式：$\int_{0}^{1} x(f(x)+1) \mathrm{d}x = \frac{\cos 1}{2}$
提示：最后合并时注意符号，避免计算错误。
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