重庆市统考 2026年数学分析第0题
📝 题目
10．求曲面积分
$$
\oiint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y
$$
其中 $S$ 为曲面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 与 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2$ 所围立体的表面，方向取外侧．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确曲面与区域，判断适用高斯公式
曲面 $S$ 由锥面 $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ 和球面 $x^2 + y^2 + z^2 = 2$ 围成封闭立体，方向取外侧。满足高斯公式条件，可转化为三重积分计算。
公式：\oiint_{S} P\,dy\,dz + Q\,dz\,dx + R\,dx\,dy = \iiint_{\Omega} \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) dV
提示：注意封闭曲面外侧方向才可直接使用高斯公式，若为内侧需加负号。
步骤 2/5
目标：应用高斯公式，转化为三重积分
令 $P = x$, $Q = y$, $R = z$，则散度 $\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} = 1+1+1 = 3$。原曲面积分化为 $\iiint_{\Omega} 3\,dV = 3 \cdot \text{Vol}(\Omega)$。
公式：\oiint_{S} x\,dy\,dz + y\,dz\,dx + z\,dx\,dy = 3 \iiint_{\Omega} dV
提示：计算散度时务必逐项求偏导，避免遗漏。
步骤 3/5
目标：确定立体区域在柱坐标下的积分限
两曲面交线：将 $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ 代入球面得 $x^2 + y^2 + (x^2 + y^2) = 2$，即 $x^2 + y^2 = 1$，$z=1$。立体区域在柱坐标下：$0 \le \theta \le 2\pi$，$0 \le r \le 1$，$z$ 从锥面 $z = r$ 到球面 $z = \sqrt{2 - r^2}$。
公式：\text{Vol}(\Omega) = \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{1} r\, dr \int_{r}^{\sqrt{2 - r^2}} dz
提示：注意锥面方程在柱坐标下为 $z = r$，球面为 $z = \sqrt{2 - r^2}$，且 $r$ 上限由交线半径决定。
步骤 4/5
目标：计算体积积分
先对 $z$ 积分：$\int_{r}^{\sqrt{2 - r^2}} dz = \sqrt{2 - r^2} - r$。再对 $r$：$\int_{0}^{1} r(\sqrt{2 - r^2} - r)\,dr = \int_{0}^{1} r\sqrt{2 - r^2}\,dr - \int_{0}^{1} r^2\,dr$。第一部分换元 $u=2-r^2$，$du=-2r\,dr$，得 $\frac13(2\sqrt{2}-1)$；第二部分为 $\frac13$。相减得 $\frac{2\sqrt{2}-2}{3}$。乘以 $\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi$，得体积 $\text{Vol}(\Omega) = \frac{4\pi(\sqrt{2}-1)}{3}$。
公式：\text{Vol}(\Omega) = 2\pi \cdot \frac{2\sqrt{2}-2}{3} = \frac{4\pi(\sqrt{2}-1)}{3}
提示：换元时注意积分限变化，并正确计算 $2^{3/2}=2\sqrt{2}$。
步骤 5/5
目标：得到曲面积分结果
原积分 $= 3 \times \text{Vol}(\Omega) = 3 \cdot \frac{4\pi(\sqrt{2}-1)}{3} = 4\pi(\sqrt{2}-1)$。
公式：\oiint_{S} x\,dy\,dz + y\,dz\,dx + z\,dx\,dy = 4\pi(\sqrt{2}-1)
提示：最终结果化简为最简形式，注意保留 $\pi$ 和根号。
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