重庆市统考 2026年数学分析第0题
📝 题目
9．计算曲线积分 $\oint_{L} x e^{2 x y} \mathrm{~d} s$ ，其中 $L$ 是以 $O(0,0), A(1,0), B(1,1)$ 为顶点的三角形．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将三角形边界分成三段并参数化
三角形边界由三条直线段组成：
- $L_1$：从 $O(0,0)$ 到 $A(1,0)$，沿 $x$ 轴，$y=0$，$x$ 从 $0$ 到 $1$。
- $L_2$：从 $A(1,0)$ 到 $B(1,1)$，竖直线，$x=1$，$y$ 从 $0$ 到 $1$。
- $L_3$：从 $B(1,1)$ 回到 $O(0,0)$，斜线 $y=x$，$x$ 从 $1$ 到 $0$。
由于是对弧长的曲线积分，方向不影响结果。
公式：曲线分段：$L = L_1 \cup L_2 \cup L_3$
提示：注意对弧长的积分与方向无关，但参数化时需注意积分限的对应关系。
步骤 2/5
目标：计算第一段 $L_1$ 的积分
参数化 $L_1$：$x = t$，$y = 0$，$t$ 从 $0$ 到 $1$。
弧长微元 $ds = \sqrt{(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2}\,dt = \sqrt{1^2+0^2}\,dt = dt$。
被积函数 $x e^{2xy} = t e^{0} = t$。
积分：
$$\int_{L_1} x e^{2xy}\,ds = \int_0^1 t\,dt = \frac{1}{2}.$$
公式：$\int_{L_1} x e^{2xy}\,ds = \int_0^1 t\,dt = \frac{1}{2}$
提示：当 $y=0$ 时，指数部分 $e^{2xy}=e^0=1$，简化计算。
步骤 3/5
目标：计算第二段 $L_2$ 的积分
参数化 $L_2$：$x = 1$，$y = t$，$t$ 从 $0$ 到 $1$。
$ds = dt$。
被积函数 $x e^{2xy} = 1 \cdot e^{2 \cdot 1 \cdot t} = e^{2t}$。
积分：
$$\int_{L_2} x e^{2xy}\,ds = \int_0^1 e^{2t}\,dt = \frac{1}{2}(e^2 - 1).$$
公式：$\int_{L_2} x e^{2xy}\,ds = \int_0^1 e^{2t}\,dt = \frac{1}{2}(e^2 - 1)$
提示：注意 $e^{2t}$ 的原函数是 $\frac{1}{2}e^{2t}$，代入上下限时不要出错。
步骤 4/5
目标：计算第三段 $L_3$ 的积分
参数化 $L_3$：从 $(1,1)$ 到 $(0,0)$，取 $x = t$，$y = t$，$t$ 从 $1$ 到 $0$。
$ds = \sqrt{(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2}\,dt = \sqrt{1+1}\,dt = \sqrt{2}\,dt$。
被积函数 $x e^{2xy} = t e^{2t^2}$。
积分：
$$\int_{L_3} x e^{2xy}\,ds = \int_{t=1}^{0} t e^{2t^2} \sqrt{2}\,dt = -\sqrt{2} \int_{0}^{1} t e^{2t^2}\,dt.$$
计算 $\int t e^{2t^2}\,dt$：令 $u = 2t^2$，则 $du = 4t\,dt$，$t\,dt = du/4$，
$$\int t e^{2t^2}\,dt = \frac{1}{4} e^{2t^2} + C.$$
代入上下限：
$$\int_0^1 t e^{2t^2}\,dt = \frac{1}{4}(e^{2} - 1).$$
所以第三段积分为：
$$-\sqrt{2} \cdot \frac{1}{4}(e^2 - 1) = -\frac{\sqrt{2}}{4}(e^2 - 1).$$
公式：$\int_{L_3} x e^{2xy}\,ds = -\frac{\sqrt{2}}{4}(e^2 - 1)$
提示：换元积分时注意 $t$ 从 $1$ 到 $0$ 导致负号，或者直接交换积分限后加负号。
步骤 5/5
目标：求和得到最终结果
将三段积分相加：
$$\oint_L x e^{2xy}\,ds = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}(e^2 - 1) - \frac{\sqrt{2}}{4}(e^2 - 1).$$
前两项合并：$\frac{1}{2} + \frac{e^2}{2} - \frac{1}{2} = \frac{e^2}{2}$。
因此结果为：
$$\frac{e^2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}(e^2 - 1).$$
公式：$\oint_L x e^{2xy}\,ds = \frac{e^2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}(e^2 - 1)$
提示：合并时注意 $\frac{1}{2}$ 与 $-\frac{1}{2}$ 抵消，仅剩 $\frac{e^2}{2}$。
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