重庆市统考 2026年数学分析第0题
📝 题目
11．设 $F(\theta)=\int_{0}^{\pi} \ln (1-\theta \cos x) \mathrm{d} x, \theta \in(-1,1)$ ．
（1）求 $F^{\prime}(\theta)$ ．
（2）求 $\displaystyle F\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ 的值．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：对参数θ求导，得到F'(θ)的积分表达式
由于积分区间固定且被积函数光滑，可以在积分号下对θ求导：
$$F'(\theta) = \frac{d}{d\theta} \int_0^\pi \ln(1-\theta\cos x) \, dx = \int_0^\pi \frac{\partial}{\partial\theta} \ln(1-\theta\cos x) \, dx = \int_0^\pi \frac{-\cos x}{1-\theta\cos x} \, dx$$
公式：$$F'(\theta) = \int_0^\pi \frac{-\cos x}{1-\theta\cos x} \, dx$$
提示：注意θ∈(-1,1)保证1-θcos x>0，对数有意义，求导合法。
步骤 2/7
目标：化简被积函数，分离出常数项
将分子变形：
$$\frac{-\cos x}{1-\theta\cos x} = \frac{1}{\theta} \left(1 - \frac{1}{1-\theta\cos x}\right)$$
代入积分得：
$$F'(\theta) = \frac{1}{\theta} \int_0^\pi \left(1 - \frac{1}{1-\theta\cos x}\right) dx = \frac{1}{\theta} \left( \pi - \int_0^\pi \frac{dx}{1-\theta\cos x} \right)$$
公式：$$F'(\theta) = \frac{1}{\theta} \left( \pi - I(\theta) \right), \quad I(\theta)=\int_0^\pi \frac{dx}{1-\theta\cos x}$$
提示：变形技巧：分子加一项减一项，凑出1的形式。
步骤 3/7
目标：计算经典积分I(θ)
使用万能代换 t=tan(x/2)，当x:0→π时，t:0→∞，且：
$$\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}, \quad dx = \frac{2}{1+t^2} dt$$
代入得：
$$1-\theta\cos x = \frac{(1-\theta)+(1+\theta)t^2}{1+t^2}$$
所以：
$$I(\theta) = \int_0^\infty \frac{2 \, dt}{(1-\theta)+(1+\theta)t^2}$$
这是标准积分形式：
$$\int_0^\infty \frac{dt}{a^2+b^2t^2} = \frac{\pi}{2ab} \quad (a,b>0)$$
令 a=√(1-θ), b=√(1+θ)，得：
$$I(\theta) = 2 \cdot \frac{\pi}{2\sqrt{1-\theta}\sqrt{1+\theta}} = \frac{\pi}{\sqrt{1-\theta^2}}$$
公式：$$I(\theta) = \frac{\pi}{\sqrt{1-\theta^2}}$$
提示：万能代换是处理含cos x有理积分的常用方法；注意积分限变换和分母配方。
步骤 4/7
目标：得到F'(θ)的最终表达式
将I(θ)代回F'(θ)表达式：
$$F'(\theta) = \frac{1}{\theta} \left( \pi - \frac{\pi}{\sqrt{1-\theta^2}} \right) = \pi \cdot \frac{1 - \frac{1}{\sqrt{1-\theta^2}}}{\theta}$$
整理为：
$$F'(\theta) = \pi \cdot \frac{\sqrt{1-\theta^2} - 1}{\theta\sqrt{1-\theta^2}}$$
公式：$$F'(\theta) = \pi \frac{\sqrt{1-\theta^2} - 1}{\theta\sqrt{1-\theta^2}}$$
提示：结果在θ=0处是奇点，但原函数在θ=0处连续，后续积分需小心处理。
步骤 5/7
目标：利用F(0)=0，通过积分求F(θ)的表达式
由于F(0)=∫₀^π ln(1) dx=0，对F'(θ)从0到θ积分：
$$F(\theta) = \int_0^\theta F'(t) \, dt = \pi \int_0^\theta \frac{\sqrt{1-t^2} - 1}{t\sqrt{1-t^2}} \, dt$$
将被积函数拆项：
$$\frac{\sqrt{1-t^2} - 1}{t\sqrt{1-t^2}} = \frac{1}{t} - \frac{1}{t\sqrt{1-t^2}}$$
所以：
$$F(\theta) = \pi \left( \int_0^\theta \frac{dt}{t} - \int_0^\theta \frac{dt}{t\sqrt{1-t^2}} \right)$$
公式：$$F(\theta) = \pi \left( \int_0^\theta \frac{dt}{t} - \int_0^\theta \frac{dt}{t\sqrt{1-t^2}} \right)$$
提示：两个积分在0处均发散，但差收敛，需用极限处理下限。
步骤 6/7
目标：计算两个不定积分并处理下限极限
已知不定积分公式：
$$\int \frac{dt}{t\sqrt{1-t^2}} = -\ln\left( \frac{1+\sqrt{1-t^2}}{t} \right) + C$$
代入上下限（下限用ε→0⁺）：
$$\int_\epsilon^\theta \frac{dt}{t} = \ln\theta - \ln\epsilon$$
$$\int_\epsilon^\theta \frac{dt}{t\sqrt{1-t^2}} = \left[ -\ln\frac{1+\sqrt{1-t^2}}{t} \right]_\epsilon^\theta = -\ln\frac{1+\sqrt{1-\theta^2}}{\theta} + \ln\frac{1+\sqrt{1-\epsilon^2}}{\epsilon}$$
相减得：
$$(\ln\theta - \ln\epsilon) - \left( -\ln\frac{1+\sqrt{1-\theta^2}}{\theta} + \ln\frac{1+\sqrt{1-\epsilon^2}}{\epsilon} \right) = \ln(1+\sqrt{1-\theta^2}) - \ln(1+\sqrt{1-\epsilon^2})$$
令ε→0⁺，√(1-ε²)→1，得：
$$\ln(1+\sqrt{1-\theta^2}) - \ln 2 = \ln\frac{1+\sqrt{1-\theta^2}}{2}$$
公式：$$\int_0^\theta \left( \frac{1}{t} - \frac{1}{t\sqrt{1-t^2}} \right) dt = \ln\frac{1+\sqrt{1-\theta^2}}{2}$$
提示：下限极限时lnε项恰好抵消，这是收敛的关键；注意ln(1+√(1-ε²))→ln2。
步骤 7/7
目标：得到F(θ)的表达式并代入θ=√3/2求值
由上述结果：
$$F(\theta) = \pi \ln\frac{1+\sqrt{1-\theta^2}}{2}$$
代入θ=√3/2：
$$\sqrt{1-\theta^2} = \sqrt{1-\frac{3}{4}} = \frac{1}{2}$$
所以：
$$F\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \pi \ln\frac{1+\frac{1}{2}}{2} = \pi \ln\frac{3/2}{2} = \pi \ln\frac{3}{4}$$
公式：$$F\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \pi \ln\frac{3}{4}$$
提示：验证：θ=0时F(0)=π ln(1)=0，与定义一致。
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