重庆市统考 2026年数学分析第0题
📝 题目
12．点 $M_{1}\left(x_{1}, y_{1}\right), M_{2}\left(x_{2}, y_{2}\right)$ 的距离定义为
$$
\begin{gathered}
d_{1}\left(M_{1}, M_{2}\right)=\sqrt{\left|x_{2}-x_{1}\right|^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}} \\
d_{2}\left(M_{1}, M_{2}\right)=\left|x_{2}-x_{1}\right|+\left|y_{2}-y_{1}\right|
\end{gathered}
$$
证明：平面点列 $\left\{\left(x_{n}, y_{n}\right)\right\}$ 按距离 $d_{1}$ 收玫到 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的充要条件是 $\left\{\left(x_{n}, y_{n}\right)\right\}$ 按距离 $d_{2}$ 收敛到 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确两种距离的定义
对于平面上两点 $M_1(x_1, y_1)$ 和 $M_2(x_2, y_2)$，定义欧几里得距离 $d_1$ 和曼哈顿距离 $d_2$ 如下：
$$d_1(M_1, M_2) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$
$$d_2(M_1, M_2) = |x_2 - x_1| + |y_2 - y_1|$$
公式：d_1 = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}, \quad d_2 = |x_2-x_1|+|y_2-y_1|
提示：注意原题中 $d_1$ 的表达式里 $|x_2-x_1|^2$ 就是 $(x_2-x_1)^2$，因为平方后绝对值无影响。
步骤 2/5
目标：建立两种距离之间的不等式关系（上界）
首先，由绝对值不等式，有 $|x_2-x_1| \leq \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ 和 $|y_2-y_1| \leq \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$。将两式相加得：
$$d_2 = |x_2-x_1|+|y_2-y_1| \leq 2\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} = 2d_1$$
公式：d_2 \leq 2d_1
提示：这里利用了每个坐标差的绝对值都不超过欧几里得距离。
步骤 3/5
目标：建立两种距离之间的不等式关系（下界）
另一方面，由平方和与绝对值和的常见不等式：对于任意实数 $a,b$，有 $\sqrt{a^2+b^2} \leq |a|+|b|$。证明：两边平方得 $a^2+b^2 \leq a^2+b^2+2|ab|$，显然成立。因此：
$$d_1 = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} \leq |x_2-x_1|+|y_2-y_1| = d_2$$
公式：d_1 \leq d_2
提示：这个不等式说明欧几里得距离不大于曼哈顿距离。
步骤 4/5
目标：综合不等式并利用夹逼原理证明等价性
综合以上两个不等式，对任意两点有：
$$d_1 \leq d_2 \leq 2d_1$$
设点列 $(x_n,y_n)$ 收敛到 $(x_0,y_0)$。
- 若按 $d_1$ 收敛，即 $d_1 \to 0$，则由 $d_2 \leq 2d_1$ 得 $d_2 \to 0$，故按 $d_2$ 收敛。
- 若按 $d_2$ 收敛，即 $d_2 \to 0$，则由 $d_1 \leq d_2$ 得 $d_1 \to 0$，故按 $d_1$ 收敛。
因此两种收敛等价。
公式：d_1 \leq d_2 \leq 2d_1
提示：夹逼原理：若 $0 \leq a_n \leq b_n$ 且 $b_n \to 0$，则 $a_n \to 0$；若 $0 \leq a_n \leq b_n$ 且 $a_n \to 0$，不能直接推出 $b_n \to 0$，但这里 $b_n \leq 2a_n$ 提供了反向控制。
步骤 5/5
目标：结论
由上述推导可知，平面点列按欧几里得距离 $d_1$ 收敛到 $(x_0,y_0)$ 的充要条件是按曼哈顿距离 $d_2$ 收敛到同一点。
提示：这个结论说明在有限维空间中，不同范数诱导的收敛是等价的。
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