重庆市统考 2026年数学分析第0题
📝 题目
8．求由方程 $z \sin y+x e^{z}=1$ 所确定的隐函数 $z=f(x, y)$ 在点 $(1,0)$ 的全微分．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：方程两边对 x 求偏导，求出 z_x 的表达式
将方程 $z \sin y + x e^{z} = 1$ 两边对 $x$ 求偏导，视 $y$ 为常数，$z$ 为 $x,y$ 的函数。
第一项：$\frac{\partial}{\partial x}(z \sin y) = \sin y \cdot \frac{\partial z}{\partial x}$
第二项：$\frac{\partial}{\partial x}(x e^{z}) = e^{z} + x e^{z} \frac{\partial z}{\partial x}$
合并得：$\sin y \cdot z_x + e^{z} + x e^{z} z_x = 0$
整理：$z_x (\sin y + x e^{z}) = -e^{z}$
所以：$z_x = \frac{-e^{z}}{\sin y + x e^{z}}$
公式：$z_x = \frac{-e^{z}}{\sin y + x e^{z}}$
提示：注意对 $x e^{z}$ 求导时要用乘法法则，且 $e^{z}$ 对 $x$ 的导数为 $e^{z} z_x$。
步骤 2/5
目标：方程两边对 y 求偏导，求出 z_y 的表达式
将方程 $z \sin y + x e^{z} = 1$ 两边对 $y$ 求偏导，视 $x$ 为常数，$z$ 为 $x,y$ 的函数。
第一项：$\frac{\partial}{\partial y}(z \sin y) = z_y \sin y + z \cos y$
第二项：$\frac{\partial}{\partial y}(x e^{z}) = x e^{z} z_y$
合并得：$z_y \sin y + z \cos y + x e^{z} z_y = 0$
整理：$z_y (\sin y + x e^{z}) = -z \cos y$
所以：$z_y = \frac{-z \cos y}{\sin y + x e^{z}}$
公式：$z_y = \frac{-z \cos y}{\sin y + x e^{z}}$
提示：对 $z \sin y$ 求导时，$z$ 和 $\sin y$ 都是 $y$ 的函数，需用乘法法则。
步骤 3/5
目标：代入点 (1,0) 确定对应的 z 值
将 $x=1, y=0$ 代入原方程 $z \sin y + x e^{z} = 1$：
$z \cdot \sin 0 + 1 \cdot e^{z} = 1$
即 $0 + e^{z} = 1$，所以 $e^{z} = 1$，解得 $z = 0$。
因此，在点 $(1,0)$ 处，$z = 0$。
公式：$e^{z} = 1 \Rightarrow z = 0$
提示：代入时注意 $\sin 0 = 0$，不要遗漏。
步骤 4/5
目标：计算偏导数在点 (1,0) 处的数值
先计算分母：$\sin y + x e^{z}$ 在 $(x,y,z)=(1,0,0)$ 处的值为 $\sin 0 + 1 \cdot e^{0} = 0 + 1 = 1$。
代入 $z_x$ 表达式：$z_x(1,0) = \frac{-e^{0}}{1} = -1$
代入 $z_y$ 表达式：$z_y(1,0) = \frac{-0 \cdot \cos 0}{1} = 0$
公式：$z_x(1,0) = -1, \quad z_y(1,0) = 0$
提示：注意 $z=0$ 使得 $z_y$ 的分子为 0，不要误算为其他值。
步骤 5/5
目标：写出全微分并代入数值
全微分公式为 $dz = z_x \, dx + z_y \, dy$。
代入已求得的数值：$dz = (-1) \, dx + 0 \, dy = -dx$。
因此，在点 $(1,0)$ 处，隐函数 $z = f(x,y)$ 的全微分为 $dz = -dx$。
公式：$dz = -dx$
提示：全微分的结果是一个线性形式，不要忘记 $dx$ 前的系数。
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