重庆市统考 2026年数学分析第0题
📝 题目
7．求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^{n}}{n+1}$ 的收敛域与和函数．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：求收敛半径
设幂级数的一般项为 $a_n = \frac{1}{n+1}$。使用比值法求收敛半径：
$$
\lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n\to\infty} \frac{1/(n+2)}{1/(n+1)} = \lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{n+2} = 1
$$
因此收敛半径 $R = 1$。
公式：$\lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = 1$
提示：比值法求收敛半径时，注意极限值为1，说明收敛半径为1，但端点需单独判断。
步骤 2/4
目标：判断端点收敛性
当 $x = 1$ 时，级数为 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n+1}$，这是调和级数去掉第一项，发散。
当 $x = -1$ 时，级数为 $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n+1}$，这是交错级数，通项绝对值 $\frac{1}{n+1}$ 单调递减趋于0，由莱布尼茨判别法知收敛。
因此收敛域为 $[-1, 1)$。
公式：$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n+1}$ 收敛（莱布尼茨判别法）
提示：端点处要分别代入，注意调和级数发散，交错级数可能收敛。
步骤 3/4
目标：构造和函数表达式
设 $S(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n+1}$。注意到 $\frac{x^n}{n+1} = \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{n+1}}{n+1}$，则
$$
S(x) = \frac{1}{x} \sum_{n=1}^\infty \frac{x^{n+1}}{n+1}
$$
令 $m = n+1$，则 $m$ 从2到 $\infty$，得
$$
\sum_{n=1}^\infty \frac{x^{n+1}}{n+1} = \sum_{m=2}^\infty \frac{x^m}{m}
$$
已知 $\sum_{m=1}^\infty \frac{x^m}{m} = -\ln(1-x)$（$|x|<1$），所以
$$
\sum_{m=2}^\infty \frac{x^m}{m} = -\ln(1-x) - x
$$
代入得
$$
S(x) = \frac{1}{x} \left( -\ln(1-x) - x \right) = -\frac{\ln(1-x)}{x} - 1
$$
当 $x=0$ 时，原级数为0，且 $\lim_{x\to 0} \left( -\frac{\ln(1-x)}{x} - 1 \right) = 0$，因此可补充定义 $S(0)=0$。
公式：$S(x) = -\frac{\ln(1-x)}{x} - 1$（$x \neq 0$），$S(0)=0$
提示：利用已知级数 $\sum_{m=1}^\infty \frac{x^m}{m} = -\ln(1-x)$ 是求和函数的关键，注意下标起始和$x$的系数处理。
步骤 4/4
目标：验证端点值
在 $x = -1$ 处，和函数为
$$
S(-1) = -\frac{\ln(1-(-1))}{-1} - 1 = -\frac{\ln 2}{-1} - 1 = \ln 2 - 1
$$
这与直接计算交错级数 $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n+1} = \ln 2 - 1$ 一致，说明和函数在收敛域内正确。
公式：$S(-1) = \ln 2 - 1$
提示：端点处的和函数值可通过代入表达式验证，注意对数函数的定义域。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。