长安大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
1．计算极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos (\sqrt{2} x)-e^{-x^{2}}+\frac{x^{4}}{3}}{x^{6}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析极限类型并确定方法
当 $x \to 0$ 时，分子 $\cos(\sqrt{2}x) - e^{-x^2} + \frac{x^4}{3}$ 和分母 $x^6$ 都趋于 $0$，因此该极限为 $\frac{0}{0}$ 型。由于分子涉及三角函数和指数函数，适合使用泰勒展开到 $x^6$ 阶来求解。
公式：\lim_{x \to 0} \frac{\cos(\sqrt{2}x) - e^{-x^2} + \frac{x^4}{3}}{x^6}
提示：注意分子中各项的展开阶数需足够高，至少到 $x^6$ 项，否则无法准确计算极限。
步骤 2/5
目标：展开 $\cos(\sqrt{2}x)$ 到 $x^6$ 项
利用 $\cos t = 1 - \frac{t^2}{2!} + \frac{t^4}{4!} - \frac{t^6}{6!} + O(t^8)$，令 $t = \sqrt{2}x$，得：
$$\cos(\sqrt{2}x) = 1 - \frac{(\sqrt{2}x)^2}{2} + \frac{(\sqrt{2}x)^4}{24} - \frac{(\sqrt{2}x)^6}{720} + O(x^8)$$
计算各项：
- $\frac{(\sqrt{2}x)^2}{2} = \frac{2x^2}{2} = x^2$
- $\frac{(\sqrt{2}x)^4}{24} = \frac{4x^4}{24} = \frac{x^4}{6}$
- $\frac{(\sqrt{2}x)^6}{720} = \frac{8x^6}{720} = \frac{x^6}{90}$
因此：
$$\cos(\sqrt{2}x) = 1 - x^2 + \frac{x^4}{6} - \frac{x^6}{90} + O(x^8)$$
公式：\cos(\sqrt{2}x) = 1 - x^2 + \frac{x^4}{6} - \frac{x^6}{90} + O(x^8)
提示：注意符号：$\cos$ 展开的偶数阶项符号交替，且系数分母为阶乘。
步骤 3/5
目标：展开 $e^{-x^2}$ 到 $x^6$ 项
利用 $e^u = 1 + u + \frac{u^2}{2!} + \frac{u^3}{3!} + \frac{u^4}{4!} + O(u^5)$，令 $u = -x^2$，得：
$$e^{-x^2} = 1 + (-x^2) + \frac{(-x^2)^2}{2} + \frac{(-x^2)^3}{6} + \frac{(-x^2)^4}{24} + O(x^{10})$$
计算各项：
- $(-x^2)^2 = x^4$，除以 $2$ 得 $\frac{x^4}{2}$
- $(-x^2)^3 = -x^6$，除以 $6$ 得 $-\frac{x^6}{6}$
- $(-x^2)^4 = x^8$，除以 $24$ 得 $\frac{x^8}{24}$（此项可忽略）
因此：
$$e^{-x^2} = 1 - x^2 + \frac{x^4}{2} - \frac{x^6}{6} + O(x^8)$$
公式：e^{-x^2} = 1 - x^2 + \frac{x^4}{2} - \frac{x^6}{6} + O(x^8)
提示：注意指数展开中 $u$ 的幂次对应 $x$ 的偶次幂，且符号由 $u$ 的符号决定。
步骤 4/5
目标：组合分子并化简
分子为 $\cos(\sqrt{2}x) - e^{-x^2} + \frac{x^4}{3}$，代入展开式：
$$\left(1 - x^2 + \frac{x^4}{6} - \frac{x^6}{90} + \cdots\right) - \left(1 - x^2 + \frac{x^4}{2} - \frac{x^6}{6} + \cdots\right) + \frac{x^4}{3}$$
先合并常数项和 $x^2$ 项：
- 常数项：$1 - 1 = 0$
- $x^2$ 项：$-x^2 - (-x^2) = 0$
再合并 $x^4$ 项：
$$\frac{x^4}{6} - \frac{x^4}{2} + \frac{x^4}{3} = \left(\frac{1}{6} - \frac{3}{6} + \frac{2}{6}\right)x^4 = 0$$
最后合并 $x^6$ 项：
从第一个展开得 $-\frac{x^6}{90}$，从第二个展开得 $-\left(-\frac{x^6}{6}\right) = +\frac{x^6}{6}$，所以 $x^6$ 系数为：
$$-\frac{1}{90} + \frac{1}{6} = -\frac{1}{90} + \frac{15}{90} = \frac{14}{90} = \frac{7}{45}$$
因此分子展开到 $x^6$ 项为 $\frac{7}{45}x^6 + O(x^8)$。
公式：\cos(\sqrt{2}x) - e^{-x^2} + \frac{x^4}{3} = \frac{7}{45}x^6 + O(x^8)
提示：注意减去 $e^{-x^2}$ 时，其展开式的每一项都要变号，尤其是 $x^6$ 项：$-(-\frac{x^6}{6}) = +\frac{x^6}{6}$。
步骤 5/5
目标：计算极限
将分子展开式代入原极限：
$$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{45}x^6 + O(x^8)}{x^6} = \lim_{x \to 0} \left(\frac{7}{45} + O(x^2)\right) = \frac{7}{45}$$
因此极限值为 $\frac{7}{45}$。
公式：\lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{45}x^6 + O(x^8)}{x^6} = \frac{7}{45}
提示：当 $x \to 0$ 时，$O(x^8)/x^6 = O(x^2) \to 0$，因此只需保留 $x^6$ 项系数。
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