📝 长安大学 2026年数学分析真题

1．计算极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos (\sqrt{2} x)-e^{-x^{2}}+\frac{x^{4}}{3}}{x^{6}}$ ．

2．设函数 $y=f(x)$ 由方程 $y^{3}+x y^{2}+x^{2} y+6=0$ 确定，求 $f(x)$ 的极值．

3．计算积分 $\displaystyle J=\int_{0}^{1} \ln \frac{1+x}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．

4．计算重积分 $\iint_{D} y \sin (x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \left\lvert\, 0 \leq x+y \leq \frac{\pi}{2}\right., 0 \leq x-y \leq \frac{\pi}{2}\right\}$ ．

5．已知有向曲线 $L$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 x$ 与平面 $2 x-z-1=0$ 的交线，从 $z$ 轴正向往 $z$ 轴负向看为逆时针方向，计算曲线积分

$$
\oint_{L}\left(6 x y z-y z^{2}\right) \mathrm{d} x+2 x^{2} z \mathrm{~d} y+x y z \mathrm{~d} z
$$

6．设 $S$ 为有界数集，证明：若 $\sup S=a \notin S$ ，则存在严格单调递增的数列 $\left\{x_{n}\right\} \subset S$ ，使得

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a
$$

7．设函数 $f(x), g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内具有二阶导数且存在相等的最大值，$f(a)=g(a)$ ， $g(b)=g(b)$ ，证明：存在 $\xi \in(a, b)$ ，使得 $f^{\prime \prime}(\xi)=g^{\prime \prime}(\xi)$ ．

8．证明：若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积，$F(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且除有限个点外有 $F^{\prime}(x)=f(x)$ ，则有

$$
\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=F(b)-F(a)
$$

9．证明：若 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上可导，且 $\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 与 $\int_{a}^{+\infty} f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$ 都收玫，则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．

10．解答如下问题：设 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=2}^{\infty} \frac{x^{n}}{n^{2} \ln n}$ ．证明：
（1）证明：$f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上连续．
（2）证明：$f(x)$ 在 $x=-1$ 处右可导．
（3）证明： $\lim _{x \rightarrow 1^{-}} f^{\prime}(x)=+\infty$ ．
（4）证明：$f(x)$ 在 $x=1$ 处左不可导．

11．解答如下问题：设 $\displaystyle I(k, a)=\int_{0}^{+\infty} e^{-k x} \frac{\sin (a x)}{x} \mathrm{~d} x$ ．
（1）证明：对固定的 $k \in[0,+\infty)$ ，积分 $I(k, a)$ 关于 $a$ 在 $|a| \geq \delta(\delta>0)$ 上一致收敛，对固定的 $a \neq 0$ ，积分 $I(k, a)$ 关于 $k$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致收敛．
（2）计算积分 $\displaystyle I=\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x$ 的值．