长安大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
3．计算积分 $\displaystyle J=\int_{0}^{1} \ln \frac{1+x}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将对数积分拆分为两个简单积分之差
利用对数性质，将原积分拆分为两个积分：
\[ J = \int_0^1 \ln(1+x) \, dx - \int_0^1 \ln(1+x^2) \, dx \]
公式：\ln\frac{a}{b} = \ln a - \ln b
提示：拆分后注意每个积分区间一致，均为[0,1]。
步骤 2/4
目标：计算第一个积分 I₁ = ∫₀¹ ln(1+x) dx
使用分部积分法，令 u = ln(1+x), dv = dx，则 du = 1/(1+x) dx, v = x。
\[ I_1 = \left[ x \ln(1+x) \right]_0^1 - \int_0^1 \frac{x}{1+x} dx \]
边界值：x=1时得 ln2，x=0时得0，故边界部分为 ln2。
计算剩余积分：
\[ \int_0^1 \frac{x}{1+x} dx = \int_0^1 \left(1 - \frac{1}{1+x}\right) dx = \left[ x - \ln(1+x) \right]_0^1 = 1 - \ln2 \]
因此 I₁ = ln2 - (1 - ln2) = 2ln2 - 1。
公式：分部积分公式：∫ u dv = uv - ∫ v du
提示：处理形如 x/(1+x) 的积分时，常用加1减1技巧化为多项式与简单分式之差。
步骤 3/4
目标：计算第二个积分 I₂ = ∫₀¹ ln(1+x²) dx
使用分部积分法，令 u = ln(1+x²), dv = dx，则 du = (2x)/(1+x²) dx, v = x。
\[ I_2 = \left[ x \ln(1+x^2) \right]_0^1 - \int_0^1 \frac{2x^2}{1+x^2} dx \]
边界值：x=1时得 ln2，x=0时得0，故边界部分为 ln2。
计算剩余积分：
\[ \int_0^1 \frac{2x^2}{1+x^2} dx = 2\int_0^1 \left(1 - \frac{1}{1+x^2}\right) dx = 2\left[ x - \arctan x \right]_0^1 = 2\left(1 - \frac{\pi}{4}\right) = 2 - \frac{\pi}{2} \]
因此 I₂ = ln2 - (2 - π/2) = ln2 - 2 + π/2。
公式：分部积分公式；∫ 1/(1+x²) dx = arctan x + C
提示：注意 2x²/(1+x²) 的化简：分子加2再减2，或直接写为 2 - 2/(1+x²)。
步骤 4/4
目标：将两个积分结果相减得到最终答案
J = I₁ - I₂ = (2ln2 - 1) - (ln2 - 2 + π/2)
化简：
\[ J = 2\ln2 - 1 - \ln2 + 2 - \frac{\pi}{2} = \ln2 + 1 - \frac{\pi}{2} \]
公式：代数合并同类项
提示：注意符号：减去一个括号时，括号内各项均变号。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。