长安大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
5．已知有向曲线 $L$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 x$ 与平面 $2 x-z-1=0$ 的交线，从 $z$ 轴正向往 $z$ 轴负向看为逆时针方向，计算曲线积分
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\oint_{L}\left(6 x y z-y z^{2}\right) \mathrm{d} x+2 x^{2} z \mathrm{~d} y+x y z \mathrm{~d} z
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确曲线与方向
曲线 $L$ 由球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2x$ 与平面 $2x-z-1=0$ 相交得到。将球面方程配方：$x^{2}-2x+y^{2}+z^{2}=0 \Rightarrow (x-1)^{2}+y^{2}+z^{2}=1$，球心为 $(1,0,0)$，半径为 $1$。平面方程可写为 $z=2x-1$。方向规定：从 $z$ 轴正向往负向看为逆时针方向。
公式：$(x-1)^{2}+y^{2}+z^{2}=1$，$z=2x-1$
提示：注意球面方程需先配方确定球心位置，方向描述用于后续确定曲面法向量的指向。
步骤 2/6
目标：应用斯托克斯公式
设 $P=6xyz-yz^{2}$，$Q=2x^{2}z$，$R=xyz$。由斯托克斯公式：$\oint_{L} P\,dx+Q\,dy+R\,dz = \iint_{S} (\nabla \times \mathbf{F})\cdot \mathbf{n}\, dS$，其中 $S$ 是以 $L$ 为边界的任意曲面。取 $S$ 为平面 $2x-z-1=0$ 上被 $L$ 所围的圆盘。
公式：$\oint_{L} P\,dx+Q\,dy+R\,dz = \iint_{S} (\nabla \times \mathbf{F})\cdot \mathbf{n}\, dS$
提示：选择曲面时应尽量简单，此处取平面圆盘便于计算法向量和投影。
步骤 3/6
目标：计算旋度
计算旋度 $\nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix}$。
第一分量：$\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z} = \frac{\partial (xyz)}{\partial y} - \frac{\partial (2x^{2}z)}{\partial z} = xz - 2x^{2}$。
第二分量：$\frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x} = \frac{\partial (6xyz-yz^{2})}{\partial z} - \frac{\partial (xyz)}{\partial x} = (6xy-2yz) - yz = 6xy-3yz$。
第三分量：$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial (2x^{2}z)}{\partial x} - \frac{\partial (6xyz-yz^{2})}{\partial y} = 4xz - (6xz-z^{2}) = -2xz+z^{2}$。
故旋度向量为：$(xz-2x^{2},\; 6xy-3yz,\; z^{2}-2xz)$。
公式：$\nabla \times \mathbf{F} = (xz-2x^{2},\; 6xy-3yz,\; z^{2}-2xz)$
提示：计算旋度时注意偏导数的顺序，避免符号错误。
步骤 4/6
目标：确定曲面与法向量
曲面 $S$ 为平面 $2x-z-1=0$ 上的圆盘。平面的法向量为 $(2,0,-1)$。根据曲线方向（从 $z$ 轴正向看逆时针），由右手法则，法向量应指向 $z$ 轴负方向，即取 $\mathbf{n} = \frac{(2,0,-1)}{\sqrt{5}}$。
公式：$\mathbf{n} = \frac{(2,0,-1)}{\sqrt{5}}$
提示：法向量方向必须与曲线方向满足右手定则，否则结果会差一个负号。
步骤 5/6
目标：将曲面积分转化为二重积分
由于 $z=2x-1$，有 $z_x=2$，$z_y=0$，面积元 $dS = \sqrt{1+z_x^{2}+z_y^{2}}\,dxdy = \sqrt{5}\,dxdy$。单位法向量与 $dS$ 的乘积为 $\mathbf{n}dS = (2,0,-1)dxdy$。
计算被积函数：$(\nabla \times \mathbf{F})\cdot (2,0,-1) = 2(xz-2x^{2}) - (z^{2}-2xz) = 2xz-4x^{2}-z^{2}+2xz = 4xz-4x^{2}-z^{2}$。
代入 $z=2x-1$：$4x(2x-1)-4x^{2}-(2x-1)^{2} = 8x^{2}-4x-4x^{2}-(4x^{2}-4x+1) = -1$。
因此曲面积分化为 $\iint_{D} (-1)\,dxdy$，其中 $D$ 为 $S$ 在 $xy$ 平面上的投影。
公式：$\iint_{S} (\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS = \iint_{D} (-1)\,dxdy$
提示：注意 $\mathbf{n}dS$ 的简化处理，避免重复计算 $\sqrt{5}$。
步骤 6/6
目标：确定投影区域并积分
将 $z=2x-1$ 代入球面方程：$x^{2}+y^{2}+(2x-1)^{2}=2x$。
展开并整理：$x^{2}+y^{2}+4x^{2}-4x+1=2x \Rightarrow 5x^{2}-6x+1+y^{2}=0$。
配方：$5\left(x-\frac{3}{5}\right)^{2}+y^{2}=\frac{4}{5}$，即 $\frac{(x-\frac{3}{5})^{2}}{(\frac{2}{5})^{2}}+\frac{y^{2}}{(\frac{2}{\sqrt{5}})^{2}}=1$。
这是一个椭圆区域 $D$，其面积为 $\pi \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{4\pi}{5\sqrt{5}}$。
故原积分 $= \iint_{D} (-1)\,dxdy = -\frac{4\pi}{5\sqrt{5}}$。
公式：$\iint_{D} (-1)\,dxdy = -\frac{4\pi}{5\sqrt{5}}$
提示：投影区域是椭圆，面积公式为 $\pi ab$，注意 $a$ 和 $b$ 的取值。
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