长安大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
8．证明：若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积，$F(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且除有限个点外有 $F^{\prime}(x)=f(x)$ ，则有
$$
\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=F(b)-F(a)
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：设定例外点并划分区间
设除有限个点外有 $F'(x)=f(x)$，将这些例外点记为 $x_1, x_2, \dots, x_k$，并按从小到大排列。令 $x_0 = a$，$x_{k+1} = b$。于是区间 $[a, b]$ 被划分为 $k+1$ 个小区间 $[x_i, x_{i+1}]$，$i=0,1,\dots,k$。在每个开区间 $(x_i, x_{i+1})$ 上，$F'(x)=f(x)$ 处处成立。
提示：注意例外点只有有限个，因此可以这样划分，且端点 $a,b$ 本身可能也是例外点，但不影响划分。
步骤 2/6
目标：在每个小区间上应用牛顿-莱布尼茨公式
对于每个小区间 $[x_i, x_{i+1}]$，由于 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积，故在子区间上也可积；$F$ 在 $[a,b]$ 上连续，故在子区间上也连续；且在开区间 $(x_i, x_{i+1})$ 内 $F'(x)=f(x)$。由微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式），有：
$$\int_{x_i}^{x_{i+1}} f(x) \, dx = F(x_{i+1}) - F(x_i)$$
端点处的单点不影响黎曼积分值。
公式：$$\int_{x_i}^{x_{i+1}} f(x) \, dx = F(x_{i+1}) - F(x_i)$$
提示：这里要求 $F$ 在闭区间上连续，在开区间内可导且导数等于 $f$，这正是牛顿-莱布尼茨公式的条件。
步骤 3/6
目标：对所有小区间的等式求和
将 $i=0$ 到 $i=k$ 的等式相加，得到：
$$\sum_{i=0}^{k} \int_{x_i}^{x_{i+1}} f(x) \, dx = \sum_{i=0}^{k} \left[ F(x_{i+1}) - F(x_i) \right]$$
公式：$$\sum_{i=0}^{k} \int_{x_i}^{x_{i+1}} f(x) \, dx = \sum_{i=0}^{k} \left[ F(x_{i+1}) - F(x_i) \right]$$
提示：注意求和符号的正确使用，左边是积分和，右边是函数值差的和。
步骤 4/6
目标：简化左边为整个区间上的积分
由于 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积，且有限个分点不影响积分值，因此所有子区间上的积分之和等于整个区间上的积分：
$$\sum_{i=0}^{k} \int_{x_i}^{x_{i+1}} f(x) \, dx = \int_a^b f(x) \, dx$$
公式：$$\int_a^b f(x) \, dx = \sum_{i=0}^{k} \int_{x_i}^{x_{i+1}} f(x) \, dx$$
提示：黎曼积分具有区间可加性，有限个点处的值不影响积分结果。
步骤 5/6
目标：简化右边为 telescoping sum
右边求和是 telescoping sum（裂项相消）：
$$\sum_{i=0}^{k} \left[ F(x_{i+1}) - F(x_i) \right] = F(x_1)-F(a) + F(x_2)-F(x_1) + \cdots + F(b)-F(x_k) = F(b) - F(a)$$
公式：$$\sum_{i=0}^{k} \left[ F(x_{i+1}) - F(x_i) \right] = F(b) - F(a)$$
提示：中间项全部抵消，只剩下首尾两项，这是裂项相消法的典型应用。
步骤 6/6
目标：得出结论
由左右两边相等，即得：
$$\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)$$
这就完成了证明。
公式：$$\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)$$
提示：该结论表明，即使导数条件只在除去有限个点外成立，牛顿-莱布尼茨公式仍然成立，条件是 $f$ 可积且 $F$ 连续。
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