长安大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
7．设函数 $f(x), g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内具有二阶导数且存在相等的最大值，$f(a)=g(a)$ ， $g(b)=g(b)$ ，证明：存在 $\xi \in(a, b)$ ，使得 $f^{\prime \prime}(\xi)=g^{\prime \prime}(\xi)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：构造辅助函数并明确目标
令 $h(x) = f(x) - g(x)$，则 $h(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内二阶可导，且由条件 $f(a)=g(a)$，$f(b)=g(b)$ 得 $h(a)=0$，$h(b)=0$。要证明存在 $\xi \in (a,b)$ 使得 $f''(\xi)=g''(\xi)$，等价于证明存在 $\xi$ 使得 $h''(\xi)=0$。
公式：$h(x)=f(x)-g(x)$，$h(a)=h(b)=0$
提示：注意题目中 $g(b)=g(b)$ 是笔误，应改为 $f(b)=g(b)$，否则条件不对称。
步骤 2/6
目标：利用最大值条件引入两个最大值点
设 $f(x)$ 在 $c_1 \in (a,b)$ 处取到最大值 $M$，$g(x)$ 在 $c_2 \in (a,b)$ 处取到相同的最大值 $M$，即 $f(c_1)=M$，$g(c_2)=M$。由于 $f$ 和 $g$ 在 $(a,b)$ 内可导，在内部极值点处一阶导数为零，故 $f'(c_1)=0$，$g'(c_2)=0$。
公式：$f(c_1)=g(c_2)=M$，$f'(c_1)=0$，$g'(c_2)=0$
提示：最大值点可能在区间内部，且不一定相同，需分情况讨论。
步骤 3/6
目标：情况1：两个最大值点相同（c₁=c₂）时的证明
若 $c_1=c_2=c$，则 $f(c)=g(c)=M$，且 $f'(c)=g'(c)=0$，故 $h(c)=0$，$h'(c)=0$。由 $h(a)=0$，$h(b)=0$，在 $[a,c]$ 和 $[c,b]$ 上分别对 $h$ 应用罗尔定理，存在 $\eta_1 \in (a,c)$，$\eta_2 \in (c,b)$ 使得 $h'(\eta_1)=0$，$h'(\eta_2)=0$。于是 $h'$ 有三个零点 $\eta_1, c, \eta_2$，在 $[\eta_1,c]$ 和 $[c,\eta_2]$ 上对 $h'$ 再次应用罗尔定理，存在 $\xi_1 \in (\eta_1,c)$，$\xi_2 \in (c,\eta_2)$ 使得 $h''(\xi_1)=0$，$h''(\xi_2)=0$，取 $\xi=\xi_1$ 或 $\xi=\xi_2$ 即得结论。
公式：$h'(\eta_1)=h'(c)=h'(\eta_2)=0$，$h''(\xi)=0$
提示：注意罗尔定理需要函数在闭区间连续、开区间可导且端点值相等，这里 $h'$ 满足条件。
步骤 4/6
目标：情况2：两个最大值点不同（c₁≠c₂）时的证明（第一部分）
不妨设 $c_1 < c_2$。计算 $h(c_1)=f(c_1)-g(c_1)=M-g(c_1)$，由于 $g(c_2)=M$ 是 $g$ 的最大值，故 $g(c_1) \leq M$，所以 $h(c_1) \geq 0$。同理 $h(c_2)=f(c_2)-g(c_2)=f(c_2)-M$，由于 $f(c_1)=M$ 是 $f$ 的最大值，故 $f(c_2) \leq M$，所以 $h(c_2) \leq 0$。由连续函数介值定理，存在 $d \in [c_1,c_2]$ 使得 $h(d)=0$。
公式：$h(c_1) \geq 0$，$h(c_2) \leq 0$，$\exists d \in [c_1,c_2]$ 使 $h(d)=0$
提示：介值定理要求函数连续，$h(x)$ 连续，故可用。
步骤 5/6
目标：情况2：利用三个零点应用罗尔定理
现在 $h(x)$ 有三个零点：$a$，$d$，$b$（注意 $h(a)=0$，$h(b)=0$，$h(d)=0$）。在区间 $[a,d]$ 和 $[d,b]$ 上分别对 $h$ 应用罗尔定理，存在 $p \in (a,d)$，$q \in (d,b)$ 使得 $h'(p)=0$，$h'(q)=0$。再在区间 $[p,q]$ 上对 $h'$ 应用罗尔定理，存在 $\xi \in (p,q) \subset (a,b)$ 使得 $h''(\xi)=0$，即 $f''(\xi)=g''(\xi)$。
公式：$h'(p)=h'(q)=0$，$h''(\xi)=0$
提示：注意 $p$ 和 $q$ 均属于 $(a,b)$，且 $p
步骤 6/6
目标：总结结论
综合情况1和情况2，无论最大值点是否相同，均存在 $\xi \in (a,b)$ 使得 $h''(\xi)=0$，即 $f''(\xi)=g''(\xi)$。命题得证。
公式：$\exists \xi \in (a,b)$，$f''(\xi)=g''(\xi)$
提示：证明的关键是构造辅助函数 $h(x)=f(x)-g(x)$，并多次使用罗尔定理。
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