长安大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
9．证明：若 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上可导，且 $\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 与 $\int_{a}^{+\infty} f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$ 都收玫，则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：由导数积分的收敛性推导出函数极限存在
已知积分 $\int_a^{+\infty} f'(x) \, dx$ 收敛，即极限 $\lim_{b \to +\infty} \int_a^b f'(x) \, dx$ 存在且有限。由牛顿-莱布尼茨公式，$\int_a^b f'(x) \, dx = f(b) - f(a)$，因此 $\lim_{b \to +\infty} [f(b) - f(a)]$ 存在且有限。记该极限为 $L$，则 $\lim_{x \to +\infty} f(x) = f(a) + L$，记作 $A$。
公式：\int_a^b f'(x) \, dx = f(b) - f(a)
提示：注意牛顿-莱布尼茨公式要求 $f$ 在 $[a, b]$ 上可导且导函数可积，这里由条件 $f$ 可导且 $f'$ 的积分收敛，因此公式适用。
步骤 2/3
目标：利用反证法证明极限必须为0
假设 $A \neq 0$。先设 $A > 0$，则存在 $X > a$，使得当 $x \ge X$ 时，$f(x) \ge \frac{A}{2} > 0$。于是 $\int_X^{+\infty} f(x) \, dx \ge \int_X^{+\infty} \frac{A}{2} \, dx$，右边发散至无穷大，与 $\int_a^{+\infty} f(x) \, dx$ 收敛矛盾。若 $A < 0$，类似地存在 $X$ 使得 $f(x) \le \frac{A}{2} < 0$，则 $|f(x)| \ge -\frac{A}{2} > 0$，积分同样发散，矛盾。因此 $A = 0$。
公式：\int_X^{+\infty} \frac{A}{2} \, dx = +\infty \quad (A > 0)
提示：反证法需分正负两种情况讨论，注意积分发散性的判断：被积函数在无穷远处保持非零常数符号时，积分必发散。
步骤 3/3
目标：总结结论
由以上推理，我们得到 $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$，证明完毕。
公式：\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0
提示：结论成立的关键在于两个积分收敛的条件缺一不可：$\int f'$ 保证极限存在，$\int f$ 保证极限为零。
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