长安大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
4．计算重积分 $\iint_{D} y \sin (x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \left\lvert\, 0 \leq x+y \leq \frac{\pi}{2}\right., 0 \leq x-y \leq \frac{\pi}{2}\right\}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：变量替换，简化积分区域
令 $u = x + y$, $v = x - y$，反解得 $x = \frac{u+v}{2}$, $y = \frac{u-v}{2}$。计算雅可比行列式：$\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} \frac12 & \frac12 \\ \frac12 & -\frac12 \end{vmatrix} = -\frac12$，取绝对值得 $\left| \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \right| = \frac12$。
公式：$\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = \frac12 \,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v$
提示：注意雅可比行列式要取绝对值，且变换后积分区域变为矩形，简化计算。
步骤 2/6
目标：变换积分区域和被积函数
原区域 $D$ 条件 $0 \le x+y \le \frac{\pi}{2}$, $0 \le x-y \le \frac{\pi}{2}$ 变为 $0 \le u \le \frac{\pi}{2}$, $0 \le v \le \frac{\pi}{2}$。被积函数 $y \sin(x+y)$ 变为 $\frac{u-v}{2} \sin u$。因此积分化为：$\iint_D y \sin(x+y)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int_{u=0}^{\pi/2} \int_{v=0}^{\pi/2} \frac{u-v}{2} \sin u \cdot \frac12 \,\mathrm{d}v\,\mathrm{d}u = \frac14 \int_0^{\pi/2} \sin u \left( \int_0^{\pi/2} (u-v)\,\mathrm{d}v \right) \mathrm{d}u$。
公式：$\iint_D y \sin(x+y)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \frac14 \int_0^{\pi/2} \sin u \left( \int_0^{\pi/2} (u-v)\,\mathrm{d}v \right) \mathrm{d}u$
提示：注意系数相乘：$\frac12 \times \frac12 = \frac14$，不要遗漏。
步骤 3/6
目标：先对 $v$ 积分
计算内层积分：$\int_0^{\pi/2} (u-v)\,\mathrm{d}v = \left[ uv - \frac{v^2}{2} \right]_0^{\pi/2} = u \cdot \frac{\pi}{2} - \frac{(\pi/2)^2}{2} = \frac{\pi u}{2} - \frac{\pi^2}{8}$。
公式：$\int_0^{\pi/2} (u-v)\,\mathrm{d}v = \frac{\pi u}{2} - \frac{\pi^2}{8}$
提示：积分时 $u$ 视为常数，注意计算 $v^2$ 的积分上下限。
步骤 4/6
目标：对 $u$ 积分，拆分为两个积分
代入内层积分结果：原积分 $= \frac14 \int_0^{\pi/2} \sin u \left( \frac{\pi u}{2} - \frac{\pi^2}{8} \right) \mathrm{d}u = \frac14 \left[ \frac{\pi}{2} \int_0^{\pi/2} u \sin u \,\mathrm{d}u - \frac{\pi^2}{8} \int_0^{\pi/2} \sin u \,\mathrm{d}u \right]$。
公式：$\frac14 \left[ \frac{\pi}{2} \int_0^{\pi/2} u \sin u \,\mathrm{d}u - \frac{\pi^2}{8} \int_0^{\pi/2} \sin u \,\mathrm{d}u \right]$
提示：注意将常数因子提出，分别计算两个积分。
步骤 5/6
目标：计算两个定积分
先计算 $\int_0^{\pi/2} \sin u \,\mathrm{d}u = [-\cos u]_0^{\pi/2} = 0 - (-1) = 1$。再计算 $\int_0^{\pi/2} u \sin u \,\mathrm{d}u$，使用分部积分：令 $p = u$, $\mathrm{d}q = \sin u \,\mathrm{d}u$，则 $\mathrm{d}p = \mathrm{d}u$, $q = -\cos u$，得 $\int u \sin u \,\mathrm{d}u = -u \cos u + \int \cos u \,\mathrm{d}u = -u \cos u + \sin u$，代入上下限：$\left[ -u \cos u + \sin u \right]_0^{\pi/2} = \left( -\frac{\pi}{2} \cdot 0 + 1 \right) - (0 + 0) = 1$。
公式：$\int_0^{\pi/2} \sin u \,\mathrm{d}u = 1$, $\int_0^{\pi/2} u \sin u \,\mathrm{d}u = 1$
提示：分部积分时注意符号，代入上下限要小心。
步骤 6/6
目标：代入并化简得到最终结果
将两个积分结果代入：$\frac14 \left[ \frac{\pi}{2} \cdot 1 - \frac{\pi^2}{8} \cdot 1 \right] = \frac14 \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\pi^2}{8} \right) = \frac14 \cdot \frac{4\pi - \pi^2}{8} = \frac{4\pi - \pi^2}{32} = \frac{\pi(4-\pi)}{32}$。
公式：$\iint_D y \sin(x+y)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \frac{\pi(4-\pi)}{32}$
提示：最终结果可以写成 $\frac{\pi(4-\pi)}{32}$ 或 $\frac{4\pi - \pi^2}{32}$，注意化简。
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