长安大学 2026年数学分析第0题

考虑积分 $I(k,a)=\int_0^{+\infty} e^{-kx}\frac{\sin(ax)}{x}dx$。分两种情况： **情况1：k > 0** - 在 x=0 附近：由于 $\lim_{x\to 0}\frac{\sin(ax)}{x}=a$，被积函数有界，且对 |a|≥δ 一致有界，故局部积分一致收敛。 - 在 x→∞ 时：$|e^{-kx}\frac{\sin(ax)}{x}| \le e^{-kx}\frac{1}{x}$，对任意 A>0，当 x≥A 时，$e^{-kx}\frac{1}{x} \le e^{-kA}\frac{1}{A}$，由 Weierstrass M-判别法，积分在 [A,∞) 上一致收敛。 **情况2：k=0** 此时积分化为 $\int_0^\infty \frac{\sin(ax)}{x}dx$。令 t=ax，则 $\int_A^{A'} \frac{\sin(ax)}{x}dx = \int_{aA}^{aA'} \frac{\sin t}{t}dt$。由第二积分中值定理，$\left|\int_{aA}^{aA'} \frac{\sin t}{t}dt\right| \le \frac{2}{aA} \le \frac{2}{\delta A}$，当 A 充分大时与 a 无关地小，故一致收敛。 综上，对固定 k≥0，积分关于 a 在 |a|≥δ 上一致收敛。

固定 a≠0，考虑参数 k≥0。令 $f(x,k)=e^{-kx}$，$g(x)=\frac{\sin(ax)}{x}$。 - 对每个固定的 x，f(x,k) 关于 k 单调递减（当 k 增大时），且 $|f(x,k)|\le 1$ 在 [0,∞) 上一致有界。 - 部分积分 $\int_0^X \frac{\sin(ax)}{x}dx$ 关于 X 一致有界，因为 $\int_0^\infty \frac{\sin t}{t}dt$ 收敛。 由 Dirichlet 判别法，积分 $\int_0^\infty e^{-kx}\frac{\sin(ax)}{x}dx$ 关于 k 在 [0,∞) 上一致收敛。注意 k=0 时 e^{-0·x}=1 仍满足单调性（常值函数视为单调）。

取 k>0，考虑 $I(k,a)=\int_0^\infty e^{-kx}\frac{\sin(ax)}{x}dx$。由第(1)问的一致收敛性，可在积分号下对 a 求导： $$\frac{\partial I}{\partial a} = \int_0^\infty e^{-kx} \cos(ax)dx$$ 计算该 Laplace 积分： $$\int_0^\infty e^{-kx}\cos(ax)dx = \frac{k}{k^2+a^2}$$ 于是 $$I(k,a) = \int_0^a \frac{k}{k^2+t^2}dt + C(k) = \arctan\left(\frac{a}{k}\right) + C(k)$$ 由 I(k,0)=0 得 C(k)=0，故 $I(k,a)=\arctan(a/k)$。

由 $I(k,1)=\arctan(1/k)$。根据第(1)问的一致收敛性，当 k→0⁺ 时，积分 $I(k,1)$ 收敛到 $\int_0^\infty \frac{\sin x}{x}dx$。因此 $$\int_0^\infty \frac{\sin x}{x}dx = \lim_{k\to 0^+} \arctan\left(\frac{1}{k}\right) = \frac{\pi}{2}$$