长安大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
2．设函数 $y=f(x)$ 由方程 $y^{3}+x y^{2}+x^{2} y+6=0$ 确定，求 $f(x)$ 的极值．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：隐函数求导，得到一阶导数表达式
对方程 $y^{3}+x y^{2}+x^{2} y+6=0$ 两边关于 $x$ 求导，注意 $y$ 是 $x$ 的函数：
\[
3y^2 y' + (y^2 + 2xy y') + (2xy + x^2 y') + 0 = 0
\]
合并含 $y'$ 的项：
\[
(3y^2 + 2xy + x^2) y' + (y^2 + 2xy) = 0
\]
解得：
\[
y' = -\frac{y^2 + 2xy}{3y^2 + 2xy + x^2}
\]
公式：y' = -\frac{y^2 + 2xy}{3y^2 + 2xy + x^2}
提示：注意对 $x y^2$ 求导时，要使用乘积法则：导数为 $y^2 + 2xy y'$。
步骤 2/5
目标：由极值必要条件找出可能的极值点
极值点处 $y' = 0$，即分子为零：
\[
y^2 + 2xy = 0 \quad \Rightarrow \quad y(y + 2x) = 0
\]
得到两种可能：$y = 0$ 或 $y = -2x$。
公式：y(y + 2x) = 0
提示：不要忘记分母不能为零的条件，但此处先由分子为零找候选点。
步骤 3/5
目标：将候选条件代回原方程验证
1. 若 $y = 0$，代入原方程得 $0+0+0+6=0$，即 $6=0$，矛盾，故舍去。
2. 若 $y = -2x$，代入原方程：
\[
(-2x)^3 + x(-2x)^2 + x^2(-2x) + 6 = 0
\]
计算得：
\[
-8x^3 + 4x^3 - 2x^3 + 6 = -6x^3 + 6 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^3 = 1 \quad \Rightarrow \quad x = 1
\]
此时 $y = -2$。
因此可能的极值点为 $(1, -2)$。
公式：-6x^3 + 6 = 0 \Rightarrow x=1, y=-2
提示：验证时务必代入原方程，确保点确实在曲线上。
步骤 4/5
目标：求二阶导数并判断极值类型
对一阶导数表达式 $ (3y^2 + 2xy + x^2) y' + (y^2 + 2xy) = 0 $ 两边再对 $x$ 求导：
\[
(6y y' + 2y + 2x y' + 2x) y' + (3y^2 + 2xy + x^2) y'' + (2y y' + 2y + 2x y') = 0
\]
在极值点 $(1, -2)$ 处，$y' = 0$，上式简化为：
\[
(3y^2 + 2xy + x^2) y'' + 2y = 0
\]
代入 $x=1, y=-2$，分母 $3(-2)^2 + 2\cdot1\cdot(-2) + 1^2 = 12 - 4 + 1 = 9$，得：
\[
9 y'' + 2(-2) = 0 \quad \Rightarrow \quad 9 y'' - 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad y'' = \frac{4}{9} > 0
\]
二阶导大于零，故该点为极小值点。
公式：y'' = \frac{4}{9} > 0
提示：在极值点处利用 $y'=0$ 简化二阶导计算是常用技巧，避免复杂运算。
步骤 5/5
目标：给出极值结论
函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处取得极小值，极小值为 $f(1) = -2$，函数无极极大值。
公式：f(1) = -2
提示：注意检查是否还有其他可能的极值点，本题仅有一个。
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