长安大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
6．设 $S$ 为有界数集，证明：若 $\sup S=a \notin S$ ，则存在严格单调递增的数列 $\left\{x_{n}\right\} \subset S$ ，使得
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解上确界的性质
由 $\sup S = a$ 且 $a \notin S$，可知：
1. 对任意 $x \in S$，有 $x \leq a$，且由于 $a \notin S$，实际上 $x < a$。
2. 对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $s \in S$，使得 $s > a - \varepsilon$。
公式：$\sup S = a \notin S \Rightarrow \forall x \in S, x < a; \forall \varepsilon > 0, \exists s \in S: s > a - \varepsilon$
提示：注意上确界不一定属于集合，但性质2保证了可以无限接近。
步骤 2/6
目标：构造数列的初始项
取 $\varepsilon_1 = 1$，由性质2，存在 $x_1 \in S$，使得 $a - 1 < x_1 < a$。
公式：$x_1 \in S, \quad a - 1 < x_1 < a$
提示：初始项只需满足大于 $a-1$ 即可，后续逐步逼近。
步骤 3/6
目标：归纳构造后续项
假设已选出 $x_1 < x_2 < \cdots < x_n < a$，令 $\varepsilon_{n+1} = \min\left(\frac{1}{n+1},\, a - x_n\right) > 0$。由性质2，存在 $x_{n+1} \in S$，使得 $a - \varepsilon_{n+1} < x_{n+1} < a$。由于 $\varepsilon_{n+1} \leq a - x_n$，有 $x_{n+1} > a - \varepsilon_{n+1} \geq x_n$，故 $x_n < x_{n+1} < a$。
公式：$\varepsilon_{n+1} = \min\left(\frac{1}{n+1},\, a - x_n\right), \quad x_{n+1} \in S, \quad a - \varepsilon_{n+1} < x_{n+1} < a$
提示：取 $\varepsilon_{n+1}$ 为 $1/(n+1)$ 和 $a-x_n$ 中较小的，既能保证严格递增，又能保证逼近速度。
步骤 4/6
目标：证明数列严格递增
由构造过程，$x_{n+1} > a - \varepsilon_{n+1} \geq x_n$，且 $x_{n+1} < a$，因此 $x_n < x_{n+1}$ 对所有 $n$ 成立，数列严格递增。
公式：$x_n < x_{n+1} < a, \quad \forall n \in \mathbb{N}$
提示：严格递增的关键是 $\varepsilon_{n+1} \leq a - x_n$。
步骤 5/6
目标：证明极限为 a
由构造，对每个 $n$ 有 $a - \frac{1}{n} < a - \varepsilon_n < x_n < a$（因为 $\varepsilon_n \leq \frac{1}{n}$）。由夹逼定理，$\lim_{n \to \infty} (a - \frac{1}{n}) = a$，且 $x_n$ 被夹在 $a - \frac{1}{n}$ 与 $a$ 之间，故 $\lim_{n \to \infty} x_n = a$。
公式：$a - \frac{1}{n} < x_n < a \Rightarrow \lim_{n \to \infty} x_n = a$
提示：夹逼定理要求两边极限相等，这里左边极限为 $a$，右边也是 $a$。
步骤 6/6
目标：总结结论
我们构造了严格单调递增的数列 $\{x_n\} \subset S$，且满足 $\lim_{n \to \infty} x_n = a$，命题得证。
公式：$\exists \{x_n\} \subset S, \, x_1 < x_2 < \cdots < a, \, \lim_{n \to \infty} x_n = a$
提示：构造方法具有一般性，常用于证明上确界可达性。
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