陕西师范大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
1． $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sin \frac{\pi}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}-1}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：化简分母表达式
考虑分母 $\sqrt{1+\frac{1}{n}}-1$，当 $n \to \infty$ 时，$\frac{1}{n} \to 0$，这是一个无穷小量。利用等价无穷小：当 $x \to 0$ 时，$\sqrt{1+x}-1 \sim \frac{x}{2}$，这里 $x = \frac{1}{n}$，所以 $\sqrt{1+\frac{1}{n}}-1 \sim \frac{1}{2n}$。
公式：$\sqrt{1+x}-1 \sim \frac{x}{2} \quad (x \to 0)$
提示：注意等价无穷小替换时，要确保替换后的量与原量之比极限为1，这里成立。
步骤 2/5
目标：初步估计分式的量级
将等价无穷小代入分式：$\frac{\pi}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}-1} \sim \frac{\pi}{\frac{1}{2n}} = 2\pi n$，当 $n \to \infty$ 时，该量趋于无穷大。但正弦是周期函数，需要更精确的展开。
公式：$\frac{\pi}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}-1} \sim 2\pi n$
提示：仅用主项无法确定正弦的极限，因为正弦函数周期为 $2\pi$，常数项会影响结果。
步骤 3/5
目标：对分母进行更精确的泰勒展开
将 $\sqrt{1+\frac{1}{n}}$ 展开：$\sqrt{1+\frac{1}{n}} = 1 + \frac{1}{2n} - \frac{1}{8n^2} + O\left(\frac{1}{n^3}\right)$，因此分母为 $\frac{1}{2n} - \frac{1}{8n^2} + O\left(\frac{1}{n^3}\right)$。
公式：$\sqrt{1+\frac{1}{n}} = 1 + \frac{1}{2n} - \frac{1}{8n^2} + O\left(\frac{1}{n^3}\right)$
提示：泰勒展开时需保留到足够高阶的项，以便后续处理分式。
步骤 4/5
目标：计算分式的精确展开
将分母写成 $\frac{1}{2n}\left(1 - \frac{1}{4n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right)\right)$，则分式为 $\frac{\pi}{\frac{1}{2n}\left(1 - \frac{1}{4n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right)\right)} = 2\pi n \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{4n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right)}$。利用几何级数展开 $\frac{1}{1 - u} = 1 + u + O(u^2)$，其中 $u = \frac{1}{4n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right)$，得到 $2\pi n \left(1 + \frac{1}{4n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right)\right) = 2\pi n + \frac{\pi}{2} + O\left(\frac{1}{n}\right)$。
公式：$\frac{\pi}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}-1} = 2\pi n + \frac{\pi}{2} + O\left(\frac{1}{n}\right)$
提示：注意展开时保留常数项，因为正弦函数对常数项敏感。
步骤 5/5
目标：代入正弦函数并求极限
于是 $\sin\left(\frac{\pi}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}-1}\right) = \sin\left(2\pi n + \frac{\pi}{2} + O\left(\frac{1}{n}\right)\right)$。由于 $n$ 是自然数，$\sin(2\pi n + \frac{\pi}{2}) = \sin\frac{\pi}{2} = 1$，且 $O\left(\frac{1}{n}\right) \to 0$，由正弦函数的连续性得极限为 $1$。
公式：$\sin(2\pi n + \frac{\pi}{2}) = 1$
提示：不要误以为 $\sin(2\pi n)=0$ 而直接得到0，必须考虑高阶项带来的常数修正。
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