📝 陕西师范大学 2022年数学分析真题

1． $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sin \frac{\pi}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}-1}$ ．

2．求函数 $\displaystyle f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x^{2 n+1} \cos \pi x-2-x^{2}}{1+x^{2 n}}$ 的间断点．（类似题讲过，只是数字不一样）

3．求数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n(n+1)}{2^{n}}$ 的和．（压中原题 ）

4． $\iint_{\mathrm{S}}(2 x+z) d y d z+z d x d y, S=\left\{(x, y, z) \mid z=x^{2}+y^{2}, z \in[0,1]\right.$ ，取上侧．

5．$\displaystyle \oint_{C} \frac{y d x-x d y}{3 x^{2}+4 y^{2}}, C: 3 x^{2}+4 y^{2}=1$ ．（压中原题）

6． $\iint_{D} \sqrt{\left|y-x^{2}\right|} d x d y, D: 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1$ ．（类似题目讲过小题样，只是范围不一样）

1．$f(x)$ 二阶可导，$x f^{\prime \prime}(x)+3 x\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}=1-e^{x}$
（1）当 $x=\tau(\tau \neq 0)$ 有极值，是极大值还是极示值，并说明理由．
（2）当 $x=0$ 有极值，是极大值还是极小值．

2．讨论 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{e^{n x}}$ 在 $[0,+\infty)$ 的一致收敛性以及 $[a,+\infty)$ 的一致收敛性

3．$F(x, y)$ 在 $(0,+\infty)$ 二除有导，$F\left(0,(y)={ }^{\circ} 0 F_{y}(0,1) \neq 0\right.$ ，有 $F\left(x, \int_{0}^{t} \sin x d x\right)=0$ ，
证明在 $\displaystyle \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 处存有连续函数 $t=\varphi(x)$ ，求 $\varphi^{\prime}(0)$ ．

1．$f(x)$ 二阶可导， $\lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$
（1）求 $x_{n} \in(n, n+1)$ ，证明： $\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=0$ ．
（2）存在 $\xi$ ，有 $f^{\prime}(\xi)=0$ ．（类似题讲过）

2．证明 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin \left(x^{3} y\right)+y^{3}}{x^{2}+y^{3}} d x$ 一致收敛。

3．已知 $a_{n}>0, \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散，$S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}$ ，证明：
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{S_{n}}$ 发散．
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{S_{n}{ }^{\alpha+1}}(\alpha>0)$ 收敛．（压中原题）

4．已知 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 连续可微，且 $f(a)=0$ ，则 $\displaystyle \int_{a}^{b}\left|f(x) f^{\prime}(x)\right| d x \leq \frac{b-a}{2} \int_{a}^{b}\left[f^{\prime}(x)\right]^{2} d x$ ．
（压住原题，做过 $a=0, b=a$ 的题）

5．证明曲面 $\displaystyle F\left(\frac{z}{y}, \frac{x}{z}, \frac{y}{x}\right)=0$ 的所有切平面恒过一定点，其中 $F$ 有连续的偏导数．