陕西师范大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
3．求数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n(n+1)}{2^{n}}$ 的和．（压中原题 ）
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：观察级数形式，考虑利用幂级数求和
我们要求的是 \( S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n(n+1)}{2^n} \)。注意到通项含有 \( n(n+1) \) 和 \( 2^{-n} \)，这提示我们可以构造幂级数 \( f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n(n+1) x^n \)，然后代入 \( x = \frac{1}{2} \) 得到和。
公式：S = f(1/2), 其中 f(x) = ∑_{n=1}^∞ n(n+1) x^n
提示：注意幂级数的收敛域为 |x|<1，x=1/2 在收敛域内。
步骤 2/5
目标：利用已知求和公式求导，得到含 (n+1) 的级数
已知 \( \sum_{n=1}^{\infty} x^{n+1} = \frac{x^2}{1-x} \)，两边对 x 求导：
左边得 \( \sum_{n=1}^{\infty} (n+1) x^n \)，右边求导得 \( \frac{2x(1-x) - x^2(-1)}{(1-x)^2} = \frac{2x - x^2}{(1-x)^2} \)。
因此 \( \sum_{n=1}^{\infty} (n+1) x^n = \frac{2x - x^2}{(1-x)^2} \)。
公式：∑_{n=1}^∞ (n+1) x^n = (2x - x^2)/(1-x)^2
提示：求导时注意分母的链式法则，符号不要出错。
步骤 3/5
目标：再次求导得到含 (n+1)^2 的级数
将上一步结果乘以 x：\( \sum_{n=1}^{\infty} (n+1) x^{n+1} = \frac{2x^2 - x^3}{(1-x)^2} \)。
两边对 x 求导：左边得 \( \sum_{n=1}^{\infty} (n+1)^2 x^n \)。
右边求导：设 \( g(x) = \frac{2x^2 - x^3}{(1-x)^2} \)，利用商法则得 \( g'(x) = \frac{4x - 3x^2 + x^3}{(1-x)^3} \)。
因此 \( \sum_{n=1}^{\infty} (n+1)^2 x^n = \frac{x(4 - 3x + x^2)}{(1-x)^3} \)。
公式：∑_{n=1}^∞ (n+1)^2 x^n = x(4 - 3x + x^2)/(1-x)^3
提示：化简分子时注意合并同类项，避免计算错误。
步骤 4/5
目标：利用恒等式 n(n+1) = (n+1)^2 - (n+1) 得到目标级数
由恒等式 \( n(n+1) = (n+1)^2 - (n+1) \)，得：
\( f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n(n+1) x^n = \sum_{n=1}^{\infty} (n+1)^2 x^n - \sum_{n=1}^{\infty} (n+1) x^n \)。
代入前面结果：
第一项 = \( \frac{x(4 - 3x + x^2)}{(1-x)^3} \)，
第二项 = \( \frac{2x - x^2}{(1-x)^2} = \frac{(2x - x^2)(1-x)}{(1-x)^3} = \frac{2x - 3x^2 + x^3}{(1-x)^3} \)。
相减得：
\( f(x) = \frac{4x - 3x^2 + x^3 - (2x - 3x^2 + x^3)}{(1-x)^3} = \frac{2x}{(1-x)^3} \)。
公式：f(x) = 2x/(1-x)^3
提示：通分时注意分子符号，第二项分子展开后要整体相减。
步骤 5/5
目标：代入 x = 1/2 计算级数和
将 \( x = \frac{1}{2} \) 代入 \( f(x) = \frac{2x}{(1-x)^3} \)：
\( S = \frac{2 \cdot \frac{1}{2}}{(1 - \frac{1}{2})^3} = \frac{1}{(\frac{1}{2})^3} = \frac{1}{\frac{1}{8}} = 8 \)。
公式：S = 8
提示：代入时注意分母 (1/2)^3 = 1/8，倒数即为8。
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