陕西师范大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
2．证明 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin \left(x^{3} y\right)+y^{3}}{x^{2}+y^{3}} d x$ 一致收敛。
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将积分拆分为两个部分，分别处理
原积分可以拆分为：
\[ I(y) = \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin(x^3 y)}{x^2 + y^3} \, dx + \int_{0}^{+\infty} \frac{y^3}{x^2 + y^3} \, dx \]
第一部分含有振荡项 $\sin(x^3 y)$，第二部分是单调正函数。
公式：\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin(x^3 y) + y^3}{x^2 + y^3} \, dx = \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin(x^3 y)}{x^2 + y^3} \, dx + \int_{0}^{+\infty} \frac{y^3}{x^2 + y^3} \, dx
提示：拆分后分别分析，注意参数 $y$ 的范围假设为有限区间 $[0, Y]$，否则第二部分可能发散。
步骤 2/4
目标：分析第二部分的一致收敛性
考虑第二部分：
\[ \int_{0}^{+\infty} \frac{y^3}{x^2 + y^3} \, dx \]
当 $y \in [0, Y]$ 时，对 $x \ge 1$ 有 $\frac{y^3}{x^2 + y^3} \le \frac{Y^3}{x^2}$，而 $\int_1^\infty \frac{Y^3}{x^2} \, dx$ 收敛且与 $y$ 无关。在 $[0,1]$ 上被积函数连续，积分是正常积分。由 Weierstrass M-判别法，该部分在 $y \in [0,Y]$ 上一致收敛。
公式：\left| \frac{y^3}{x^2 + y^3} \right| \le \frac{Y^3}{x^2}, \quad \int_1^\infty \frac{Y^3}{x^2} \, dx = Y^3
提示：注意 $y$ 必须有限，否则 $Y^3$ 无界，无法用 M-判别法。
步骤 3/4
目标：分析第一部分，采用分段处理
将第一部分积分分为 $[0,1]$ 和 $[1,\infty)$ 两段：
- 在 $[0,1]$ 上，被积函数 $\frac{\sin(x^3 y)}{x^2 + y^3}$ 关于 $(x,y)$ 连续，积分区间有限，因此一致收敛。
- 在 $[1,\infty)$ 上，由于 $x \ge 1$，分母 $x^2 + y^3 \ge x^2$，且 $|\sin(x^3 y)| \le 1$，故
\[ \left| \frac{\sin(x^3 y)}{x^2 + y^3} \right| \le \frac{1}{x^2} \]
而 $\int_1^\infty \frac{1}{x^2} \, dx$ 收敛且与 $y$ 无关，由 Weierstrass M-判别法，该部分在 $y \in [0,Y]$ 上一致收敛。
公式：\left| \frac{\sin(x^3 y)}{x^2 + y^3} \right| \le \frac{1}{x^2}, \quad \int_1^\infty \frac{1}{x^2} \, dx = 1
提示：分段是处理振荡积分一致收敛的常用技巧，注意 $x=0$ 附近无奇点，无需特殊处理。
步骤 4/4
目标：综合两部分，得出结论
第一部分和第二部分均在 $y \in [0,Y]$（$Y$ 为任意固定正数）上一致收敛，因此原积分
\[ \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin(x^3 y) + y^3}{x^2 + y^3} \, dx \]
在参数 $y$ 属于任意有限区间 $[0,Y]$ 上一致收敛。
公式：\text{原积分在 } y \in [0,Y] \text{ 上一致收敛}
提示：若 $y$ 无上界，第二部分发散，故一致收敛性仅对有限区间成立。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。