陕西师范大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
1．$f(x)$ 二阶可导， $\lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$
（1）求 $x_{n} \in(n, n+1)$ ，证明： $\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=0$ ．
（2）存在 $\xi$ ，有 $f^{\prime}(\xi)=0$ ．（类似题讲过）
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析题目条件
已知函数 $f(x)$ 二阶可导，且满足极限条件：$\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0$ 和 $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$。这意味着函数在负半轴趋近于0时和正无穷远处都趋于0。
公式：$\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0, \quad \lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$
提示：注意极限方向：一个是左极限，一个是正无穷极限。
步骤 2/4
目标：证明第一问：存在 $x_n \in (n, n+1)$ 使得 $\lim_{n \to \infty} f(x_n) = 0$
由 $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$，根据极限定义，对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $M > 0$，当 $x > M$ 时，有 $|f(x)| < \varepsilon$。取正整数 $n > M$，则区间 $(n, n+1) \subset (M, +\infty)$。任取 $x_n \in (n, n+1)$，都有 $|f(x_n)| < \varepsilon$。因此当 $n \to \infty$ 时，$f(x_n) \to 0$。
公式：$\forall \varepsilon > 0, \exists M > 0, \forall x > M: |f(x)| < \varepsilon$
提示：关键在于利用无穷远处极限为0的定义，直接取区间内的任意点即可，不需要额外构造。
步骤 3/4
目标：证明第二问：存在 $\xi$ 使得 $f'(\xi) = 0$
分两种情况讨论：
1. 若 $f(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 上恒等于0，则任意点的导数均为0，结论显然成立。
2. 若 $f(x)$ 不恒为0，则存在 $x_0 > 0$ 使得 $f(x_0) \neq 0$。不妨设 $f(x_0) > 0$（负的情况类似）。由于 $\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0$ 且 $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$，函数在靠近0和无穷远处都接近0，而在中间某点为正。由连续函数的性质，$f(x)$ 在 $[0, +\infty)$ 上必有最大值点 $\xi$，且 $f(\xi) \ge f(x_0) > 0$。由于两端极限为0，$\xi$ 必在 $(0, +\infty)$ 内部。由费马定理，在极值点处导数为0，即 $f'(\xi) = 0$。
公式：费马定理：若 $f$ 在 $\xi$ 处可导且取得极值，则 $f'(\xi) = 0$
提示：注意需要利用两端极限为0来保证极值点不在边界上，且函数二阶可导保证可导性。
步骤 4/4
目标：总结结论
第一问通过极限定义直接得到；第二问通过极值存在定理和费马定理证明。
公式：无
提示：第二问中若 $f(x_0) < 0$，则考虑最小值点，同样由费马定理得导数为0。
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