陕西师范大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
4． $\iint_{\mathrm{S}}(2 x+z) d y d z+z d x d y, S=\left\{(x, y, z) \mid z=x^{2}+y^{2}, z \in[0,1]\right.$ ，取上侧．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：明确题目与符号，识别曲面积分类型
题目为第二类曲面积分：
\[
\iint_{S} (2x+z)\, dy\, dz + z\, dx\, dy
\]
曲面 \(S: z = x^2 + y^2, z \in [0,1]\)，取上侧。
其中 \(P = 2x+z\) 对应 \(dy\,dz\) 项，\(R = z\) 对应 \(dx\,dy\) 项，\(Q = 0\)。
公式：第二类曲面积分的一般形式：
\[
\iint_S P\,dy\,dz + Q\,dz\,dx + R\,dx\,dy
\]
提示：注意区分第二类曲面积分中不同投影方向对应的被积函数，上侧意味着法向量指向z轴正方向。
步骤 2/7
目标：将曲面积分转化为参数化形式
曲面参数化为 \(\mathbf{r}(x,y) = (x, y, x^2+y^2)\)，定义域 \(D: x^2+y^2 \le 1\)。
取上侧时，有向面积元为：
\[
d\mathbf{S} = \left(-\frac{\partial z}{\partial x}, -\frac{\partial z}{\partial y}, 1\right) dx\,dy = (-2x, -2y, 1)\,dx\,dy
\]
向量场 \(\mathbf{F} = (2x+z, 0, z)\)，其中 \(z = x^2+y^2\)。
公式：\[
\iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iint_D \mathbf{F}(x,y,f(x,y)) \cdot (-f_x, -f_y, 1)\,dx\,dy
\]
提示：上侧时法向量z分量为正，故取正号；若取下侧则需加负号。
步骤 3/7
目标：计算被积函数点积并化简
计算点积：
\[
\mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = (2x+z, 0, z) \cdot (-2x, -2y, 1)
= (2x + x^2+y^2)(-2x) + 0 + (x^2+y^2)\cdot 1
\]
展开：
\[
= -4x^2 -2x^3 -2xy^2 + x^2 + y^2 = -3x^2 + y^2 -2x^3 -2xy^2
\]
因此积分化为：
\[
\iint_D (-3x^2 + y^2 -2x^3 -2xy^2)\,dx\,dy
\]
公式：点积结果：
\[
-3x^2 + y^2 -2x^3 -2xy^2
\]
提示：注意展开时逐项计算，避免符号错误。
步骤 4/7
目标：利用对称性简化积分
积分区域 \(D: x^2+y^2 \le 1\) 关于x轴和y轴对称。
- \(-2x^3\) 是x的奇函数，在对称区域上积分为0；
- \(-2xy^2\) 对x是奇函数，积分也为0。
剩余部分：
\[
\iint_D (-3x^2 + y^2)\,dx\,dy
\]
公式：对称性：奇函数在对称区域积分为0
提示：判断奇偶性时注意变量：\(-2x^3\) 关于x奇，\(-2xy^2\) 关于x奇，而 \(-3x^2\) 和 \(y^2\) 均为偶函数。
步骤 5/7
目标：使用极坐标计算二重积分
令 \(x = r\cos\theta, y = r\sin\theta\)，则：
\[
-3x^2 + y^2 = -3r^2\cos^2\theta + r^2\sin^2\theta = r^2(\sin^2\theta - 3\cos^2\theta)
\]
面积元 \(dx\,dy = r\,dr\,d\theta\)，积分区域 \(r \in [0,1], \theta \in [0,2\pi]\)。
积分化为：
\[
\int_0^{2\pi} \int_0^1 r^2(\sin^2\theta - 3\cos^2\theta) \cdot r\, dr\, d\theta
= \left(\int_0^{2\pi} (\sin^2\theta - 3\cos^2\theta)\, d\theta\right) \left(\int_0^1 r^3\, dr\right)
\]
公式：极坐标变换：
\[
x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta, \quad dx\,dy = r\,dr\,d\theta
\]
提示：注意被积函数中 \(r^2\) 乘以面积元中的 \(r\) 得到 \(r^3\)，不要遗漏。
步骤 6/7
目标：分别计算径向和角度积分
径向积分：
\[
\int_0^1 r^3\, dr = \frac{1}{4}
\]
角度积分：
\[
\int_0^{2\pi} \sin^2\theta\, d\theta = \pi, \quad \int_0^{2\pi} \cos^2\theta\, d\theta = \pi
\]
所以：
\[
\int_0^{2\pi} (\sin^2\theta - 3\cos^2\theta)\, d\theta = \pi - 3\pi = -2\pi
\]
相乘得：
\[
\frac{1}{4} \times (-2\pi) = -\frac{\pi}{2}
\]
公式：\[
\int_0^{2\pi} \sin^2\theta\, d\theta = \pi, \quad \int_0^{2\pi} \cos^2\theta\, d\theta = \pi
\]
提示：角度积分可利用倍角公式或直接记忆结果，注意 \(\sin^2\theta\) 和 \(\cos^2\theta\) 在整周期上的积分相等。
步骤 7/7
目标：得出最终答案
原曲面积分的结果为：
\[
\boxed{-\frac{\pi}{2}}
\]
公式：最终答案：
\[
-\frac{\pi}{2}
\]
提示：检查符号：由于角度积分结果为负，最终结果为负值，符合预期。
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