陕西师范大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
5．$\displaystyle \oint_{C} \frac{y d x-x d y}{3 x^{2}+4 y^{2}}, C: 3 x^{2}+4 y^{2}=1$ ．（压中原题）
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：观察分母与曲线的关系，判断奇点位置
曲线 \(C\) 的方程为 \(3x^2+4y^2=1\)，分母为 \(3x^2+4y^2\)，在曲线上分母恒为1，无奇点。但分母为零的点为原点 \((0,0)\)，原点位于椭圆 \(\frac{x^2}{1/3}+\frac{y^2}{1/4}=1\) 内部，因此被积函数在原点处无定义，不能直接应用格林公式。
公式：C: 3x^2+4y^2=1
提示：注意分母为零的点是否在曲线内部，这是判断是否需要挖洞的关键。
步骤 2/5
目标：计算偏导数，验证旋度为零
记 \(P = \frac{y}{3x^2+4y^2}\)，\(Q = \frac{-x}{3x^2+4y^2}\)。计算偏导数：
\[
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{1}{3x^2+4y^2} - \frac{8y^2}{(3x^2+4y^2)^2} = \frac{3x^2-4y^2}{(3x^2+4y^2)^2}
\]
\[
\frac{\partial Q}{\partial x} = -\frac{1}{3x^2+4y^2} + \frac{6x^2}{(3x^2+4y^2)^2} = \frac{3x^2-4y^2}{(3x^2+4y^2)^2}
\]
因此 \(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 0\)，在除去原点的区域上向量场无旋。
公式：\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 0
提示：计算偏导数时注意使用商的求导法则，并化简通分。
步骤 3/5
目标：应用挖洞法，将原积分转化为小椭圆上的积分
由于原点为奇点，取小椭圆 \(C_\varepsilon: 3x^2+4y^2 = \varepsilon^2\)（\(\varepsilon>0\) 充分小），方向取逆时针。在两条曲线之间的区域上，旋度为零，由格林公式知原积分（沿大椭圆逆时针）等于沿小椭圆逆时针的积分。
公式：\oint_C = \oint_{C_\varepsilon}
提示：注意方向匹配：大椭圆和小椭圆均取逆时针方向。
步骤 4/5
目标：参数化小椭圆并计算积分
在小椭圆 \(C_\varepsilon\) 上，分母 \(3x^2+4y^2 = \varepsilon^2\)，积分化为 \(\frac{1}{\varepsilon^2} \oint_{C_\varepsilon} y\,dx - x\,dy\)。参数化：
\[
x = \frac{\varepsilon}{\sqrt{3}} \cos\theta, \quad y = \frac{\varepsilon}{2} \sin\theta, \quad \theta: 0 \to 2\pi
\]
则 \(dx = -\frac{\varepsilon}{\sqrt{3}} \sin\theta\,d\theta\)，\(dy = \frac{\varepsilon}{2} \cos\theta\,d\theta\)。代入得：
\[
y\,dx = -\frac{\varepsilon^2}{2\sqrt{3}} \sin^2\theta\,d\theta, \quad -x\,dy = -\frac{\varepsilon^2}{2\sqrt{3}} \cos^2\theta\,d\theta
\]
相加得 \(y\,dx - x\,dy = -\frac{\varepsilon^2}{2\sqrt{3}} d\theta\)。积分得：
\[
\oint_{C_\varepsilon} y\,dx - x\,dy = \int_0^{2\pi} -\frac{\varepsilon^2}{2\sqrt{3}} d\theta = -\frac{\pi\varepsilon^2}{\sqrt{3}}
\]
因此原积分为 \(\frac{1}{\varepsilon^2} \cdot \left(-\frac{\pi\varepsilon^2}{\sqrt{3}}\right) = -\frac{\pi}{\sqrt{3}}\)。
公式：\oint_{C_\varepsilon} y\,dx - x\,dy = -\frac{\pi\varepsilon^2}{\sqrt{3}}
提示：参数化时注意椭圆方程 \(3x^2+4y^2=\varepsilon^2\) 的标准化，确保 \(x\) 和 \(y\) 的系数正确。
步骤 5/5
目标：给出最终答案
原曲线 \(C\) 通常取逆时针方向，故积分结果为 \(-\frac{\pi}{\sqrt{3}}\)。若曲线方向为顺时针，则结果变号。
公式：\boxed{-\frac{\pi}{\sqrt{3}}}
提示：注意题目是否指定方向，默认逆时针为正。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。