陕西师范大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
1．$f(x)$ 二阶可导，$x f^{\prime \prime}(x)+3 x\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}=1-e^{x}$
（1）当 $x=\tau(\tau \neq 0)$ 有极值，是极大值还是极示值，并说明理由．
（2）当 $x=0$ 有极值，是极大值还是极小值．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析题目条件，明确极值必要条件
题目给出方程 $x f''(x) + 3x [f'(x)]^2 = 1 - e^x$，且 $f(x)$ 二阶可导。对于极值点，必要条件为 $f'(x)=0$。分别处理两个小问。
公式：极值必要条件：$f'(x)=0$
提示：注意 $x=0$ 时方程左边有因子 $x$，需单独处理。
步骤 2/6
目标：第一问：代入 $x=\tau$ 并利用 $f'(\tau)=0$ 求 $f''(\tau)$
设 $x=\tau$（$\tau \neq 0$）为极值点，则 $f'(\tau)=0$。代入原方程：
$$\tau f''(\tau) + 3\tau \cdot 0^2 = 1 - e^{\tau}$$
化简得：
$$\tau f''(\tau) = 1 - e^{\tau}$$
因此
$$f''(\tau) = \frac{1 - e^{\tau}}{\tau}$$
公式：$f''(\tau) = \frac{1 - e^{\tau}}{\tau}$
提示：代入时注意 $[f'(\tau)]^2=0$，不要遗漏。
步骤 3/6
目标：第一问：判断 $f''(\tau)$ 的符号以确定极值类型
考虑分子 $1 - e^{\tau}$：
- 当 $\tau > 0$ 时，$e^{\tau} > 1$，故 $1 - e^{\tau} < 0$，分母 $\tau > 0$，所以 $f''(\tau) < 0$，为极大值。
- 当 $\tau < 0$ 时，$e^{\tau} < 1$，故 $1 - e^{\tau} > 0$，分母 $\tau < 0$，所以 $f''(\tau) < 0$，仍为极大值。
因此无论 $\tau$ 正负（非零），$f''(\tau) < 0$，故为极大值。
公式：极值判定：$f''(\tau) > 0$ 为极小，$f''(\tau) < 0$ 为极大
提示：注意分母 $\tau$ 的符号会影响整体正负，需分情况讨论。
步骤 4/6
目标：第二问：处理 $x=0$ 时方程的直接代入问题
令 $x=0$，原方程左边为 $0 \cdot f''(0) + 3 \cdot 0 \cdot [f'(0)]^2 = 0$，右边为 $1 - e^0 = 0$，方程自动满足，无法直接得到 $f''(0)$。因此需用极限方法。
公式：直接代入得 $0=0$，无信息
提示：当方程含因子 $x$ 时，$x=0$ 处需谨慎处理，不能直接求导数值。
步骤 5/6
目标：第二问：改写方程并取极限求 $f''(0)$
当 $x \neq 0$ 时，原方程两边除以 $x$：
$$f''(x) + 3[f'(x)]^2 = \frac{1 - e^x}{x}$$
令 $x \to 0$，利用极限 $\lim_{x \to 0} \frac{1 - e^x}{x} = -1$，且由 $f$ 二阶可导知 $f''(x)$ 连续，$f'(0)=0$，故左边极限为 $f''(0) + 3 \cdot 0^2 = f''(0)$。因此
$$f''(0) = -1 < 0$$
公式：$\lim_{x \to 0} \frac{1 - e^x}{x} = -1$，$f''(0) = -1$
提示：注意 $\frac{1-e^x}{x}$ 在 $x=0$ 处未定义，但极限存在，需用极限运算。
步骤 6/6
目标：第二问：根据 $f''(0)$ 符号判断极值类型
由于 $f''(0) = -1 < 0$，根据极值第二充分条件，$x=0$ 处为极大值。
公式：极值判定：$f''(0) < 0$ 为极大值
提示：注意此处 $f'(0)=0$ 是已知条件，无需再证。
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