陕西师范大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
2．求函数 $\displaystyle f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x^{2 n+1} \cos \pi x-2-x^{2}}{1+x^{2 n}}$ 的间断点．（类似题讲过，只是数字不一样）
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：分析极限行为，确定分界点
函数定义为 $f(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{x^{2n+1}\cos\pi x-2-x^2}{1+x^{2n}}$。由于 $x^{2n}$ 在 $n\to\infty$ 时的极限取决于 $|x|$ 与 $1$ 的大小关系，因此以 $|x|=1$ 为分界点，分 $|x|<1$、$|x|>1$、$x=1$、$x=-1$ 四种情况讨论。
公式：$x^{2n} \to \begin{cases} 0, & |x|<1 \\ \infty, & |x|>1 \\ 1, & |x|=1 \end{cases}$
提示：注意 $x^{2n+1}=x\cdot x^{2n}$，其极限行为与 $x^{2n}$ 类似，但需考虑 $x$ 的符号。
步骤 2/8
目标：求 $|x|<1$ 时的极限
当 $|x|<1$ 时，$x^{2n}\to 0$，$x^{2n+1}\to 0$。分子趋于 $0\cdot\cos\pi x-2-x^2=-2-x^2$，分母趋于 $1+0=1$。因此 $f(x)=-2-x^2$。
公式：$f(x)=-2-x^2,\quad |x|<1$
提示：直接代入极限，注意分子中 $x^{2n+1}\cos\pi x$ 项趋于0。
步骤 3/8
目标：求 $|x|>1$ 时的极限
当 $|x|>1$ 时，$x^{2n}\to\infty$。分子分母同除以 $x^{2n}$：分子变为 $x\cos\pi x-\frac{2}{x^{2n}}-\frac{x^2}{x^{2n}}$，后两项趋于0；分母变为 $\frac{1}{x^{2n}}+1\to 1$。因此 $f(x)=x\cos\pi x$。
公式：$f(x)=x\cos\pi x,\quad |x|>1$
提示：除以 $x^{2n}$ 时注意 $x^{2n+1}/x^{2n}=x$，且 $x^2/x^{2n}\to 0$ 因为 $|x|>1$。
步骤 4/8
目标：求 $x=1$ 和 $x=-1$ 处的函数值
当 $x=1$ 时，$x^{2n}=1$，$x^{2n+1}=1$，代入得 $f(1)=\frac{1\cdot\cos\pi-2-1}{1+1}=\frac{-1-3}{2}=-2$。当 $x=-1$ 时，$x^{2n}=1$，$x^{2n+1}=(-1)^{2n+1}=-1$，代入得 $f(-1)=\frac{(-1)\cos(-\pi)-2-1}{1+1}=\frac{-1\cdot(-1)-3}{2}=\frac{1-3}{2}=-1$。
公式：$f(1)=-2,\quad f(-1)=-1$
提示：注意 $\cos(-\pi)=\cos\pi=-1$，且 $(-1)^{2n+1}=-1$。
步骤 5/8
目标：写出分段函数表达式
综合以上结果，得到分段函数：
$$
f(x)=
\begin{cases}
-2-x^2, & |x|<1, \\
x\cos\pi x, & |x|>1, \\
-2, & x=1, \\
-1, & x=-1.
\end{cases}
$$
公式：分段函数如上
提示：注意 $x=1$ 和 $x=-1$ 是单独的点，不包含在 $|x|<1$ 或 $|x|>1$ 中。
步骤 6/8
目标：判断 $x=1$ 处的间断性
左极限：$\lim_{x\to 1^-}f(x)=\lim_{x\to 1^-}(-2-x^2)=-3$。右极限：$\lim_{x\to 1^+}f(x)=\lim_{x\to 1^+}x\cos\pi x=1\cdot\cos\pi=-1$。函数值 $f(1)=-2$。左右极限不相等，且均不等于函数值，故 $x=1$ 为第一类跳跃间断点。
公式：$\lim_{x\to 1^-}f(x)=-3,\quad \lim_{x\to 1^+}f(x)=-1,\quad f(1)=-2$
提示：左极限来自 $|x|<1$ 的表达式，右极限来自 $|x|>1$ 的表达式。
步骤 7/8
目标：判断 $x=-1$ 处的间断性
左极限（$x\to -1^-$，此时 $|x|>1$）：$\lim_{x\to -1^-}x\cos\pi x=(-1)\cos(-\pi)=(-1)(-1)=1$。右极限（$x\to -1^+$，此时 $|x|<1$）：$\lim_{x\to -1^+}(-2-x^2)=-2-1=-3$。函数值 $f(-1)=-1$。左右极限不相等，且均不等于函数值，故 $x=-1$ 也为第一类跳跃间断点。
公式：$\lim_{x\to -1^-}f(x)=1,\quad \lim_{x\to -1^+}f(x)=-3,\quad f(-1)=-1$
提示：注意 $x\to -1^-$ 时 $|x|>1$，使用 $x\cos\pi x$；$x\to -1^+$ 时 $|x|<1$，使用 $-2-x^2$。
步骤 8/8
目标：总结间断点
函数有两个间断点：$x=-1$ 和 $x=1$，均为第一类跳跃间断点。
公式：间断点：$x=\pm 1$，第一类跳跃间断点
提示：第一类间断点指左右极限均存在但不相等（跳跃）或相等但不等于函数值（可去）。此处为跳跃。
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