陕西师范大学 2022年数学分析第0题

在正方形区域 $D: 0 \le x \le 1, 0 \le y \le 1$ 内，曲线 $y = x^2$ 将区域分为两部分： - $D_1$：曲线下方，即 $y \le x^2$，此时 $|y - x^2| = x^2 - y$。 - $D_2$：曲线上方，即 $y \ge x^2$，此时 $|y - x^2| = y - x^2$。 原积分可写为： $$I = \iint_{D_1} \sqrt{x^2 - y} \, dy\,dx + \iint_{D_2} \sqrt{y - x^2} \, dy\,dx$$

对于固定的 $x \in [0,1]$，在 $D_1$ 中 $y$ 从 $0$ 到 $x^2$，则： $$I_1 = \int_0^1 \int_0^{x^2} \sqrt{x^2 - y} \, dy \, dx$$ 先对 $y$ 积分，令 $u = x^2 - y$，则 $du = -dy$，当 $y=0$ 时 $u=x^2$，当 $y=x^2$ 时 $u=0$，所以： $$\int_0^{x^2} \sqrt{x^2 - y} \, dy = \int_{x^2}^0 \sqrt{u} \, (-du) = \int_0^{x^2} u^{1/2} \, du = \frac{2}{3} (x^2)^{3/2} = \frac{2}{3} x^3$$ 于是： $$I_1 = \int_0^1 \frac{2}{3} x^3 \, dx = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{6}$$

对于固定的 $x \in [0,1]$，在 $D_2$ 中 $y$ 从 $x^2$ 到 $1$，则： $$I_2 = \int_0^1 \int_{x^2}^1 \sqrt{y - x^2} \, dy \, dx$$ 先对 $y$ 积分，令 $t = y - x^2$，则 $dt = dy$，当 $y=x^2$ 时 $t=0$，当 $y=1$ 时 $t = 1 - x^2$，所以： $$\int_{x^2}^1 \sqrt{y - x^2} \, dy = \int_0^{1-x^2} t^{1/2} \, dt = \frac{2}{3} (1 - x^2)^{3/2}$$ 于是： $$I_2 = \int_0^1 \frac{2}{3} (1 - x^2)^{3/2} \, dx$$

令 $x = \sin \theta$，则 $dx = \cos \theta \, d\theta$，当 $x=0$ 时 $\theta=0$，当 $x=1$ 时 $\theta = \pi/2$，且 $1-x^2 = \cos^2 \theta$，所以： $$(1 - x^2)^{3/2} = (\cos^2 \theta)^{3/2} = \cos^3 \theta$$ 于是： $$J = \int_0^{\pi/2} \cos^3 \theta \cdot \cos \theta \, d\theta = \int_0^{\pi/2} \cos^4 \theta \, d\theta$$ 利用降幂公式： $$\cos^4 \theta = \left(\frac{1+\cos 2\theta}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} (1 + 2\cos 2\theta + \cos^2 2\theta)$$ 而 $\cos^2 2\theta = \frac{1+\cos 4\theta}{2}$，代入得： $$\cos^4 \theta = \frac{1}{4}\left(1 + 2\cos 2\theta + \frac{1+\cos 4\theta}{2}\right) = \frac{3}{8} + \frac{1}{2}\cos 2\theta + \frac{1}{8}\cos 4\theta$$ 在 $[0, \pi/2]$ 上积分，$\cos 2\theta$ 和 $\cos 4\theta$ 的积分为0，所以： $$J = \int_0^{\pi/2} \frac{3}{8} \, d\theta = \frac{3}{8} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{16}$$

由 $I_2 = \frac{2}{3} J$，得： $$I_2 = \frac{2}{3} \cdot \frac{3\pi}{16} = \frac{\pi}{8}$$ 原积分为： $$I = I_1 + I_2 = \frac{1}{6} + \frac{\pi}{8}$$ 因此，最终结果为： $$\boxed{\frac{1}{6}+\frac{\pi}{8}}$$