陕西师范大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
4．已知 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 连续可微，且 $f(a)=0$ ，则 $\displaystyle \int_{a}^{b}\left|f(x) f^{\prime}(x)\right| d x \leq \frac{b-a}{2} \int_{a}^{b}\left[f^{\prime}(x)\right]^{2} d x$ ．
（压住原题，做过 $a=0, b=a$ 的题）
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确条件和目标
已知 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续可微，且 $f(a)=0$。需要证明：
$$\int_a^b |f(x) f'(x)| \, dx \le \frac{b-a}{2} \int_a^b [f'(x)]^2 \, dx$$
公式：$$\int_a^b |f(x) f'(x)| \, dx \le \frac{b-a}{2} \int_a^b [f'(x)]^2 \, dx$$
提示：注意 $f(a)=0$ 是后续使用微积分基本定理的关键条件。
步骤 2/5
目标：用微积分基本定理表示 $f(x)$ 并应用柯西-施瓦茨不等式
由 $f(a)=0$，对任意 $x \in [a,b]$ 有 $f(x) = \int_a^x f'(t) \, dt$。由柯西-施瓦茨不等式：
$$|f(x)| \le \int_a^x |f'(t)| \, dt \le \left( \int_a^x 1^2 \, dt \right)^{1/2} \left( \int_a^x [f'(t)]^2 \, dt \right)^{1/2} = \sqrt{x-a} \left( \int_a^x [f'(t)]^2 \, dt \right)^{1/2}$$
公式：$$|f(x)| \le \sqrt{x-a} \left( \int_a^x [f'(t)]^2 \, dt \right)^{1/2}$$
提示：柯西-施瓦茨不等式使用时要确保积分区间一致，这里 $\int_a^x 1^2 dt = x-a$。
步骤 3/5
目标：将待证积分转化为二重积分形式
记 $I = \int_a^b |f(x) f'(x)| \, dx$。由 $|f(x)| \le \int_a^x |f'(t)| \, dt$，得：
$$I \le \int_a^b \left( \int_a^x |f'(t)| \, dt \right) |f'(x)| \, dx$$
这等价于在区域 $a \le t \le x \le b$ 上的二重积分：
$$I \le \iint_{a \le t \le x \le b} |f'(t)| \, |f'(x)| \, dt \, dx$$
公式：$$I \le \iint_{a \le t \le x \le b} |f'(t)| \, |f'(x)| \, dt \, dx$$
提示：注意 $|f(x)|$ 的上界估计中，积分变量 $t$ 与 $x$ 无关，可以交换积分次序。
步骤 4/5
目标：交换积分次序并利用对称性
交换积分次序（$t$ 从 $a$ 到 $b$，$x$ 从 $t$ 到 $b$）：
$$I \le \int_a^b |f'(t)| \left( \int_t^b |f'(x)| \, dx \right) dt$$
由于被积函数关于 $t$ 和 $x$ 对称，整个正方形区域 $[a,b]^2$ 上的二重积分等于 $t \le x$ 和 $t > x$ 两部分之和，且两部分相等，因此：
$$\iint_{a \le t \le x \le b} |f'(t)||f'(x)| \, dt \, dx = \frac12 \iint_{[a,b]^2} |f'(t)||f'(x)| \, dt \, dx = \frac12 \left( \int_a^b |f'(x)| \, dx \right)^2$$
公式：$$I \le \frac12 \left( \int_a^b |f'(x)| \, dx \right)^2$$
提示：对称性推导时，注意 $\iint_{[a,b]^2} |f'(t)||f'(x)| \, dt \, dx = \left( \int_a^b |f'(x)| \, dx \right)^2$。
步骤 5/5
目标：再次应用柯西-施瓦茨不等式得到最终结果
由柯西-施瓦茨不等式：
$$\int_a^b |f'(x)| \, dx \le \sqrt{b-a} \left( \int_a^b [f'(x)]^2 \, dx \right)^{1/2}$$
两边平方得：
$$\left( \int_a^b |f'(x)| \, dx \right)^2 \le (b-a) \int_a^b [f'(x)]^2 \, dx$$
代入上一步结果：
$$I \le \frac12 \cdot (b-a) \int_a^b [f'(x)]^2 \, dx = \frac{b-a}{2} \int_a^b [f'(x)]^2 \, dx$$
公式：$$\int_a^b |f(x) f'(x)| \, dx \le \frac{b-a}{2} \int_a^b [f'(x)]^2 \, dx$$
提示：等号成立条件：$|f'(x)|$ 为常数且 $f(a)=0$，即 $f(x)=c(x-a)$。
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