陕西师范大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
5．证明曲面 $\displaystyle F\left(\frac{z}{y}, \frac{x}{z}, \frac{y}{x}\right)=0$ 的所有切平面恒过一定点，其中 $F$ 有连续的偏导数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：引入中间变量，将曲面方程转化为隐式函数形式
令 $u = \frac{z}{y}$, $v = \frac{x}{z}$, $w = \frac{y}{x}$，则曲面方程化为 $F(u, v, w) = 0$。记 $F$ 对 $u, v, w$ 的偏导分别为 $F_u, F_v, F_w$，它们连续。
公式：F\left(\frac{z}{y}, \frac{x}{z}, \frac{y}{x}\right) = 0 \quad \Rightarrow \quad F(u, v, w) = 0
提示：注意中间变量 $u, v, w$ 的定义域需保证分母不为零，但题目默认在曲面上成立。
步骤 2/5
目标：计算梯度分量 $F_x, F_y, F_z$
由链式法则：
对 $x$：$\frac{\partial u}{\partial x}=0$, $\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{1}{z}$, $\frac{\partial w}{\partial x}=-\frac{y}{x^2}$，故 $F_x = F_v \cdot \frac{1}{z} + F_w \cdot \left(-\frac{y}{x^2}\right)$。
对 $y$：$\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{z}{y^2}$, $\frac{\partial v}{\partial y}=0$, $\frac{\partial w}{\partial y}=\frac{1}{x}$，故 $F_y = F_u \cdot \left(-\frac{z}{y^2}\right) + F_w \cdot \frac{1}{x}$。
对 $z$：$\frac{\partial u}{\partial z}=\frac{1}{y}$, $\frac{\partial v}{\partial z}=-\frac{x}{z^2}$, $\frac{\partial w}{\partial z}=0$，故 $F_z = F_u \cdot \frac{1}{y} + F_v \cdot \left(-\frac{x}{z^2}\right)$。
公式：F_x = \frac{F_v}{z} - \frac{yF_w}{x^2}, \quad F_y = -\frac{zF_u}{y^2} + \frac{F_w}{x}, \quad F_z = \frac{F_u}{y} - \frac{xF_v}{z^2}
提示：注意每个中间变量只与部分自变量有关，不要遗漏或重复求导。
步骤 3/5
目标：写出切平面方程的一般形式
在曲面上任取一点 $P(x_0, y_0, z_0)$，该点处法向量为 $(F_x, F_y, F_z)$（取值于该点），切平面方程为：
$$F_x (x - x_0) + F_y (y - y_0) + F_z (z - z_0) = 0$$
公式：F_x (x - x_0) + F_y (y - y_0) + F_z (z - z_0) = 0
提示：此处 $F_x, F_y, F_z$ 均是在点 $(x_0, y_0, z_0)$ 处的值，为常数。
步骤 4/5
目标：验证恒等式 $F_x x_0 + F_y y_0 + F_z z_0 = 0$
计算：
$$F_x x_0 = \frac{x_0 F_v}{z_0} - \frac{y_0 F_w}{x_0}, \quad F_y y_0 = -\frac{z_0 F_u}{y_0} + \frac{y_0 F_w}{x_0}, \quad F_z z_0 = \frac{z_0 F_u}{y_0} - \frac{x_0 F_v}{z_0}$$
三式相加，所有项正负抵消，得：
$$F_x x_0 + F_y y_0 + F_z z_0 = 0$$
公式：F_x x_0 + F_y y_0 + F_z z_0 = 0
提示：此恒等式对曲面上任意点成立，是证明定点存在的关键。
步骤 5/5
目标：将恒等式代入切平面方程，找出定点
由恒等式 $F_x x_0 + F_y y_0 + F_z z_0 = 0$，切平面方程可改写为：
$$F_x x + F_y y + F_z z = 0$$
显然，点 $(0,0,0)$ 满足该方程，且与 $(x_0, y_0, z_0)$ 无关。因此所有切平面均过原点。
公式：F_x x + F_y y + F_z z = 0 \quad \Rightarrow \quad (0,0,0) \text{ 在切平面上}
提示：注意：这里将 $F_x x_0 + F_y y_0 + F_z z_0 = 0$ 代入原方程后，$x_0, y_0, z_0$ 被消去，得到关于 $x, y, z$ 的线性方程，原点显然满足。
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