陕西师范大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
3．$F(x, y)$ 在 $(0,+\infty)$ 二除有导，$F\left(0,(y)={ }^{\circ} 0 F_{y}(0,1) \neq 0\right.$ ，有 $F\left(x, \int_{0}^{t} \sin x d x\right)=0$ ，
证明在 $\displaystyle \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 处存有连续函数 $t=\varphi(x)$ ，求 $\varphi^{\prime}(0)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解题意并修正可能的笔误
题目中“二除有导”可能是“偏导存在”的笔误，$F\left(0,(y)={ }^{\circ} 0\right.$ 推测为 $F(0,1)=0$，且 $F_y(0,1) \neq 0$。条件 $F\left(x, \int_{0}^{t} \sin x \, dx\right)=0$ 中的积分变量与自变量 $x$ 冲突，合理推测为 $F\left(x, \int_0^t \sin u \, du\right)=0$，即 $F(x, 1-\cos t)=0$。
公式：F(x, 1-\cos t) = 0
提示：注意区分积分变量与自变量，避免混淆。
步骤 2/5
目标：确定满足方程的初始点
当 $x=0$ 时，条件变为 $F(0, 1-\cos t)=0$。已知 $F(0,1)=0$，故令 $1-\cos t = 1$，解得 $\cos t = 0$，在区间 $(0,\frac{\pi}{2})$ 内取 $t = \frac{\pi}{2}$。因此点 $(x,t)=(0,\frac{\pi}{2})$ 满足方程。
公式：F(0,1)=0 \Rightarrow 1-\cos t = 1 \Rightarrow t = \frac{\pi}{2}
提示：注意 $t$ 的取值范围，确保解在指定区间内。
步骤 3/5
目标：构造隐函数并验证隐函数定理条件
令 $G(x,t) = F(x, 1-\cos t)$，则 $G(x,t)=0$。计算 $\frac{\partial G}{\partial t} = F_y(x, 1-\cos t) \cdot \sin t$。在点 $(0,\frac{\pi}{2})$ 处，$\frac{\partial G}{\partial t}\big|_{(0,\frac{\pi}{2})} = F_y(0,1) \cdot \sin\frac{\pi}{2} = F_y(0,1) \neq 0$。由隐函数定理，存在唯一的连续可微函数 $t=\varphi(x)$ 满足 $\varphi(0)=\frac{\pi}{2}$。
公式：\frac{\partial G}{\partial t} = F_y(x,1-\cos t)\sin t, \quad \left.\frac{\partial G}{\partial t}\right|_{(0,\frac{\pi}{2})} = F_y(0,1) \neq 0
提示：隐函数定理要求偏导连续且非零，这里 $F_y$ 连续且不为0，满足条件。
步骤 4/5
目标：对隐函数恒等式两边求导
由 $F(x, 1-\cos\varphi(x)) = 0$，两边对 $x$ 求导（使用链式法则）：
\[\frac{d}{dx}F = F_x(x,1-\cos\varphi) + F_y(x,1-\cos\varphi) \cdot \sin\varphi(x) \cdot \varphi'(x) = 0\]
公式：F_x + F_y \cdot \sin\varphi \cdot \varphi' = 0
提示：注意对 $1-\cos\varphi(x)$ 求导时，$\frac{d}{dx}(1-\cos\varphi) = \sin\varphi \cdot \varphi'$。
步骤 5/5
目标：代入初始点求解 $\varphi'(0)$
代入 $x=0$，$\varphi(0)=\frac{\pi}{2}$，得 $\sin\frac{\pi}{2}=1$，于是
\[F_x(0,1) + F_y(0,1) \cdot 1 \cdot \varphi'(0) = 0\]
解得
\[\varphi'(0) = -\frac{F_x(0,1)}{F_y(0,1)}\]
公式：\varphi'(0) = -\frac{F_x(0,1)}{F_y(0,1)}
提示：注意 $F_y(0,1) \neq 0$ 是已知条件，确保分母不为零。
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